2.2.2 函数的奇偶性第二课时教学设计

2.2.2

函数的奇偶性

宁晋县第三中学

王立芬

教学目标：1.使学生理解奇函数、偶函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法；

3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。

教学重点：函数奇偶性的概念

教学难点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性，单调性的综合使用

教学方法：讲授法

教学过程：

（I）复习回顾

1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。

2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？

轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）

中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转180，能够与另一图形重合）

这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课

1.偶函数

（1）观察函数y=x2的图象（如右图）

①图象有怎样的对称性？关于y轴对称。

②从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；

f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；

111111f()，f()，即f()f()。2424221

……

由于（-x）2=x2 ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。

（2）定义：

一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）。

例如：函数f(x)x21,f(x)2.奇函数

（1）观察函数y=x3的图象（投影2）

①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值

有什么关系？

也是一对相反数。

2,f(x)x等都是偶函数。

x211②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。即如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数。

（2）定义

一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都f(x)f(x)有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。

1x例如：函数f(x)x,f(x)都是奇函数。

3.奇偶性

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

（III）例题分析

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例1.判断下列函数的奇偶性。

（1） f(x)=x3+2x; （2) f(x)=2x4+3x2; （3） f(x)=x2+2x+5; （4）f(x)=x2,x0,; （5） f(x)=; （6）f(x)=x+; 分析：①

这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；

②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。

③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；

其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

例2.已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在0，是增函数。证明y=f(x)在，0上也是增函数。

证明：设x1-x2>0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数。

∴f(-x1) >f(-x2),又f(x)在R上是奇函数。

∴-f(x1)> -f(x2),即f(x1)< f(x2). ∴函数y= f(x)在（0，+∞）上是增函数。

变题：已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在0，是减函数。证0上也是减函数。

明y=f(x)在，1x1x结论：由例2可有：

奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；

偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；

（IV）课堂练习：课本思考题和课后练习1，2

3

（V）课时小结

本节课我们学习了函数奇偶性的定义，判断函数奇偶性的方法以及函数奇偶性与单调性的综合使用。特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功；对于函数单调性，奇偶性的综合题，要深入分析、理清思路、总揽全局、各个击破。

（VI）课后作业

书面作业：习题1.3 A组题第9、

题和B组题第1、2题。4 10