3.4.2 函数模型及其应用教学设计一等奖

探究含有绝对值一类函数问题

江苏省和桥高级中学 杨杰

复习目标：

（1）含有xa一类函数问题解题研究；

（2）利用函数图像研究含有绝对值的函数的性质（单调性，最值与零点等问题）；

（3）利用等价转化（去绝对值符号）研究含有绝对值的函数中参数范围。

复习重点：强化对含xa一类函数问题的本质理解，

复习难点：提炼对含xa一类函数问题的基本思路，基本方法和技巧。

教学过程：

一、创设问题情境

引入：1、画出y=xx2

的图像. 2、已知方程|x-5|=a/x有三个根，求a的取值范围为________

例1 已知方程xax=a有三个不同的根，求a的取值范围 ；

设计意图：问题是思维的开端，是学习的起点，也是学生深入探索心理的原动力。所以在数学课堂教学中应着力创设问题情境，去激发学生的创新欲望，为课堂教学创造出良好的学习情境，达到课始兴趣生的效果。

在学生自主探究的基础上，由学生上台投影，讲解，教师点拨提高。

法一：原题函数f1(x)=讨论。

aa

2

当a>0时，

当a=0时,不合题意

x(xa)xa与函数f2(x)=a的图像有三个不同交点,再分类x(ax)xay aO x

当a<0时，

综上可知：a<-4或a>4 法二：xxaa有三个根方程xa=aa有三个零点函数y=xa与函数y=xx的图像有三个交点，再分类讨论，作图可得a的取值范围。

解题感悟：（1）问题本质是什么？（2）转化策略是什么？（3）实施要点是什么？

二、引导

合作

探究

例2：①函数f(x)=xxa在[2,)上单调递增，求a的取值范围__________________.

②函数f(x)x2|xa|在区间[0,2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 设计意图：在提出问题之后，在意向心理主导控制下，带着问题自主探究。学生通过接受知识信息，评价信息，获得新知，从而构建新的认知结构。与之可辅以学习小组切磋，全堂共议。使学生在讨论中辨析，在自学中获知，在探求中提高。

x(xa),xa,

再分类讨论。

(1)

先分类，f(x)=x(ax),xay y aO a2图2 aO 2 2 x x 图3 1当a0时,0a2综上，a(,2].

22当a0时,在2，上单调增(2) ①当a≥2时，在区间[0,2]上f(x)=x(a-x)=-x+ax ,f(x)=-3x+2ax≥0在[0,2]恒成立

∴a≥3

32‘2②当a≤0时, f(x)=x-ax, f(x)= 3x+2ax=x(3x-2a)符合

3‘2③当0

当0≤x≤a时,y=-3x+2ax=-x(3x-2a)不能恒大于等于0 ∴舍

由①②③可知a≤0或a≥3

变式：已知函数f(x)=|x-a|lnx在[2,3]上递减，求a 的取值范围_______

三、应用

激活

巩固

例3 ①已知函数f(x)=xxa-2,当x[0,1]时，f(x)<0 恒成立，求a的取值范围。

2a1,若不等式x|xa|2a对于任意x[1,2]恒成立，则实数a的取②已知值范围是________ 3x(xa)2,xa,x2ax2,xa(1)法一：f(x)==2x(ax)2,xa,a

xax2,xy y

a

O O

a

x 2

当a=0时，符合

当a>0时，

y

a

Ox -2

当a<0时，

综上可知：-1

法二：直接去绝对值，先分类再分

x

（1）当x=0时，f(0)=-2<0,成立。

（2）当x(0,1]时，xa 解得，-1

222，即（x-)max

故f(x)在

即0 又∵

故

错解：

当x[1,2]

时，有x|xa|a32323a|xa|2x2a333aa2xa2或xa2xxx

由xaxa352a1a恒成立，分离参数得x1恒成立，解得4

352aa恒成立，分离参数得x-1恒成立，解得2

x2-由xa-x所以实数a的取值范围是1a

四、联想

拓展

延伸

55a4或2。

例4：设a为实数，函数f(x）=2x+(x-a)2xa,求函数f(x)的最小值。

设计意图：在自主探究的基础上，通过知识信息的集中反馈，检查学生对数学思想方法的理解程度，对问题探究的深度和广度，再通过提问、投影及时矫正错误信息。让学生进行辨析、比较，矫正确认。

评注：把分段点a与对称轴比，从而展开分类讨论（即a与0比）。

变式：已知f(x)x2(x1)|xa|

（1）若f(x)在实数集上单调递增，求a的取值范围；

（2）若函数y=f(x)在[2,3]上最小值为6，求a的取值范围？

五、归纳

总结

提高

(1)分类讨论思想，这是解决“含有xa一类函数问题”的基本思想，而且涉及到这类问题解决时还需二次分类，是解决这类问题的出发点和落脚点。

(2)数形结合思想，是解决“含有xa一类函数问题”的关键点。只有通过数与形的结合，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使抽象思维与形象思维有机结合，从而起到优化解题途径的目的。

(3)等价转换思想，是解决“含有xa一类函数问题”的制胜点。是化生为熟，化繁为

简，换个说法，换个角度等一系列问题的转换策略，是历年高考数学中的难点、重点和热点之一，即化难为易的等价转换思想。

(4)函数与方程思想，是解决“含有xa一类函数问题”的又一法宝。它们之间可以相互转换。因此，数学解题中，要重视函数与方程思想的渗透。