小结教学设计第二课时

第2章

函数的基本性质

2. 20 本章考点小结

【教学目标】

教学目标要求

内容

函数及其基本性质

函数的有关概念

记忆性水平

解释性理解水平

探究性理解水平

⑴理解函数是变量之间相掌握求函数定义域的基本方法。在简单互依赖关系的一种反映。

情形下能通过观察和分析确定函数的⑵加深理解函数的概念，值域

熟悉函数表达的解析法、列表法和图像法。⑶懂得函数的抽象记号以及函数定义域和值域的集合表示。

理解两个函数的和函数、积函数的概念。

⑴通过解决具有实际背景的简单问题。

⑵领会分析变量和建立函数关系的思考方法。⑶初步会用函数观点观察和分析一些自然现象和社会现象。

⑴通过对函数零点的研究。

⑵体会“二分法”和逼近思想。

⑶熟悉计算器的应用。能利用函数的奇偶性描绘函数的图像。

函数的运算

函数关系的建立

体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识。

函数的基本性质

⑴从直观到解析、从具体到抽象研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。

⑵在直观认识函数基本性质的基础上，从具体函数到抽象性、单调性、零点、最大表示的函数对其奇偶值和最小值等基本性质进行解析研究。

⑶掌握函数的基本性质以及反映这些基本性质的图像特征。

⑷能根据不同问题灵活地用掌握函数的基本性质以及反映这些基本性质的图像特征。能根据不同问题灵活地用解析法、列表法和图像法来表示变量之间的关系和研究函数的性质：会利用函数的性质宋解决简单的实际问题。领悟数形结合的思想。

1

【教学重点】

函数的基本性质及应用

【教学难点】

函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。

【教学过程】：

一．知识整理

1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，

大多可用函数的观点来解决。

（2）

研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。

2.主要问题：

（1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩

（2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义

（3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合

（4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域

3.函数的基本性质

函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的相等：定义域相同，对应法则相同

函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y

= f (x), x∈D} a.

定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合

b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合

c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数f(x)为偶函数；

如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x)2

为奇函数；

判断准则：1.定义域关于原点对称，2.f(x)f(x);奇f(x)f(x); 偶

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称

d.单调性：存在定义域的子集M，对于M内的任意两个值x1,x2,当x1x2时，总有

)f(x1)f(x2)）成立，则称函数f(x)在集合M上单调递增

f(x1)f(x2（或 （或递减）。

e.最值：定义域内的函数值的最大（小）值。亦即函数图象上最高（低）点的纵坐标。

f.周期性：对于函数y

=f(x),若存在一个常数T0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，常数T叫做f(x)的周期。

4.基本函数：常数函数；正比例函数；反比例函；数一次函数；二次函数；yax5.函数构成

在基本函数的基础上：

(a)

运算：以和、差、商、积函数为代表，如：yax(b)

复合：y = f(g(x)) b

xb

x3

二．例题精析

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，易，逻辑思维能力。

【题目】函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是

。

【解答】答案为11,。由2x10，得x，所以函数的单调增区间是221,。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例2函数、指数函数、对数函数和幂函数。

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，中，分析问题与解决问题能力。

2x2,【题目】已知函数f(x)x，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，(x1)3,x2则实数k的取值范围是________. 【解答】f(x)2(x2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)(x1)3(x2)单调递增且值域x为(,1)，f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，分析问题与解决问题能力。

【题目】设a为实数，函数(1)若(2)求f(x)2x2(xa)|xa|.

f(0)1，求a的取值范围；

f(x)的最小值；

(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.

f(x),x(a,)，直接写出．．．．(3)设函数h(x)【解答】

（1）若f(0)1，则a|a|12a0a122a1

2f(a),a02a,a0

a2a2f(),a0,a033（2）当xa时，f(x)3x2axa,f(x)min

4

当xa时，f(x)x2axa,f(x)min222a2,a0f(a),a02

f(a),a02a,a0

综上f(x)min2a2,a0

2a2,a0322（3）x(a,)时，h(x)1得3x2axa10，4a212(a21)128a2

当a66时，0,x(a,)；

或a22a32a2a32a266(x)(x)0

当时，△>0,得：a3322xa讨论得：当a(26,)时，解集为(a,); 22a32a2a32a262当a(,)时，解集为(a,][,); 2233a32a222当a[,]时，解集为[,). 223【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解决问题能力。

【题目】有时可用函数

a0.115ln,(x6)axf(x)

x4.4,(x6)x4描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（xN），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

（1）

证明：当x7时，掌握程度的增加量f(x1)f(x)总是下降；

（2）

根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为*(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

5

【解答】（1）当x7时，f(x1)f(x)0.4

(x3)(x4)而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)>0……..3分

故f(x1)f(x)单调递减

当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降……………..6分

（2）由题意可知0.1+15ln整理得a=0.85……………….9分

a6ae0.05

a6e0.05620.506123.0,123.0(121,127]…….13分

解得a0.05e1由此可知，该学科是乙学科……………..14分

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，数学探究与创新能力。

【题目】已知函数yf(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a0)，函数yf(xa)与yf1(xa)互为反函数，则称yf(x)满足“a和性质”；若函数yf(ax)与。

yf1(ax)互为反函数，则称yf(x)满足“a积性质”（1）

判断函数g(x)x1(x0)是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2）

求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3）

设函数yf(x)(x0)对任何a0，满足“a积性质”。求yf(x)的表达式。

【解答】（1）函数g(x)x21(x0)的反函数是g1(x)2x1(x1)

g1(x1)x(x0)

而g(x1)(x1)1(x1),其反函数为y故函数g(x)x1(x0)不满足“1和性质”

（2）设函数f(x)kxb(xR)满足“2和性质”，k0.

22x11(x1)

f1(x)xbx2b(xR),f1(x2)…….6分

kkxb2k而f(x2)k(x2)b(xR),得反函数y………….8分

k

6

由“2和性质”定义可知x2bxb2k=对xR恒成立

kkk1,bR,即所求一次函数为f(x)xb(bR)………..10分

（3）设a0，x00，且点(x0,y0)在yf(ax)图像上，则(y0,x0)在函数yf1(ax)图象上，

故．．．．．12分

f(ax0)y0，可得ay0f(x0)af(ax0)，

．f1(ay0)x0，

令ax0x，则axf(x0)xx。f(x0)。

．．．．．．14分

f(x)，即f(x)0xx0x0综上所述，1b1qn1bnf(x)而f1kkk(k0)，此时f(ax)，其反函数就是y，

xaxax(ax)k1，故yf(ax)与yf(ax)互为反函数

。

．．．．．．16分

ax三．课堂反馈

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，易，分析问题与解决问题能力。

exex【题目】函数yxx的图像大致为(

).

eey

1O

1

x

1O1xyyy

1

O

1

x

D

A

【解答】:函数有意义,需使eexx1

O1

xB

C

0,其定义域为x|x0,排除C,D,又因为exexe2x12yxx2x12x,所以当x0时函数为减函数,故选A.

eee1e1【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，中，分析问题与解决问题能力。

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log(1x),x0【题目】.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 2，则f（2009）的f(x1)f(x2),x0值为(

)

A.-1

B. 0

C.1

D. 2 【解答】:由已知得f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1, f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0, f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，中，分析问题能力。

x0log(4x),【题目】定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 2，则f（3）的值f(x1)f(x2),x0为(

)

A.-1

B. -2

C.1

D. 2 【答案】:由已知得f(1)log25,f(0)log242,f(1)f(0)f(1)2log25, f(2)f(1)f(0)log25,f(3)f(2)f(1)log25(2log25)2,故选B. 【解答】:B.

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，填空题，中，分析问题与解决问题能力。

【题目】若曲线y2|x|1与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是

. 【解答】k0,1b1

四．课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）.

函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，函数思想的实质就是用联系、变化的观点提出数学对象，建立函数关系，求得问题解决.近几年高考中，考查函数的思想方法已更加突出，特别是应用题的考查，考查力度逐年加大，都需用到函数的知识与方法才能解决，从如何建立函数关系式入手，考查函数的基本性质，以及数形结合、分类讨论、最优

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化等数学思想，重视对实践能力的考查是高考的新动向.因此要强化函数思想的应用意识的训练，才能适应高考新的变化.

五．课后作业

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的概念，选择题，易，分析问题与解决问题能力。

x,x0,【题目】设函数f(x)2若f()4,则实数=

x,x0.（A）-4或-2

（B）-4或2

（C）-2或4

（D）-2或2 【解答】

当0时，f()24,4；

当0，f()224,4. 选B 【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的奇偶性单调性，选择题，易，逻辑思维能力。

【题目】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数为（

）

A．yln1

|x|B．yx3

C．y2|x|

D．ycosx

【解答】对A，显然是偶函数，当x＞0时，函数为yln11，内函数u在（0，+）xx上是减函数且值域为（0，+），外函数ylnu在（0，+）是增函数，根据复合函数的单调性知，原函数yln1在（0，+）是减函数，故选A. |x|对B，是奇函数，不符合条件；

对C，是偶函数，当x＞0时，y2是增函数，不符合条件；

对D，是偶函数，在（0，+ ）上有增有减，不符合条件. x【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像，选择题，中，数学探究与创新能力。

,b,1aa【题目】．对实数a与b，定义新运算“”：ab

b,ab1.2设函数f(x)x2xx,xR.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，2则实数c的取值范围是

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A．,21,

B．,21,323

4C．,14311,

D．1,,

444222x2,x2xx1【解答】Bf(x)

222xx,x2xx1y 32x2,1x2



3xx2,x1,或x2则fx的图象如图

∵yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，

o -1 -2 x ∴yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c

3.

4【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的奇偶性，填空题，中，分析问题与解决问题能力。

【题目】若函数f(x)x2xa为偶函数，则实数a

。

【解答】0 ，∵f(x)为偶函数，∴f(x)f(x)，

22即x|xa|(x)|xa|xaxa,∴a0. 【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，解答题，中，分析问题与解决问题能力。

【题目】已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a,b满足ab0。

（Ⅰ）若ab0，判断函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若ab0，求f(x1)f(x)时x的取值范围。

【解答】(Ⅰ) 当a0,b0时，任意x1,x2R,x1x2，则f(x1)f(x2)= a(2x12x2)b(3x13x2)

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∵

2122,a0a(2122)0，3132,b0b(3132)0，

∴

f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数。

当a0,b0时，同理，函数f(x)在R上是减函数。

(Ⅱ)

f(x1)fx()a当a0,b0时，()xxxxxxxxx2b2x3

aa，则xlog1.5()；

2b2b3xaa当a0,b0时，()，则xlog1.5()。

22b2bx32【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的基本性质，解答题，中，分析问题与解决问题能力。

1【题目】已知f(x)x2x，是否存在实数mn0，使定义域D[m,n]时，2f(x)[2m,2n]，请你构造一个偶函数f(x)，使定义域[1,1]，值域为[2,3]．

【解答】（1）f(x)111mn0，(x1)2，2mm2m

f(x)是增函数，22212得m0或m2，同理，

2nnn，得n0或n2，

2mn0，所以m2,n0．

（2）可由图象特征得f(x)5|x|2,f(x)5x3等，

2【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的概念，辨析题，中，分析问题与解决问题能力。

【题目】已知两个函数f(x),g(x)的定义域均为x[a,b]．若对于任意x[a,b]，总有|f(x)g(x)1|，我们称f(x)可被g(x)“替代”．试判断f(x)x,x[4,16]是否f(x)101(x6)，x[4,16]替代？

5可被g(x)分析

这是一个涉及函数知识的创新问题，理解“替代”是关键，为此，我们只要在[4，16]上确定|1x(x6)1x615|是否恒成立．即|1|是否恒成立．为此，我们设

10x5x10

11

(x)x65x，确定其在[4,16]上的单调性和值域，便可判断|1x65x|1是否恒成立．

10解

设(x)x65x，任意取4x1x216，

(x1)(x2)x165x1x265x2x1x26x2x2x16x15x1x2，

，

(x1x2)(x1x26)5x1x2当x1,x2[4,6]时，(x1)(x2)，这时(x)为减函数；

当x1,x2[6,16]时，(x1)(x2)，这时(x)为增函数；

x6时，min(x)(6)又(16)26；x4时，(4)1，

51111，故max(x)．

1010由|1x61261111|在x[4,16]时恒成立，

|及|1|，知|151010105x10因此，f(x)可被g(x)“替代”．

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，解答题，难，逻辑思维能力。

【题目】

若f(x)为奇函数，对任意实数a和b，都有f(ab)f(a)f(b)，

且当x0时，f(x)0，f(1)2

（1）

证明：f(x)在(,)上是减函数；

（2）

求f(x)在[2,2]上的最大值和最小值．

【解答】（1）由f(x)f(x)f(x)，是奇函数，设x1x2，则x2x10

f(x2x1)0，又f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)0

f(x2)f(x1)，f(x)在(,)为减函数．

（2）由f(x)为减函数，

12

f(x)minf(2)f(11)f(1)f(1)4，

f(x)maxf(2)f(2)4．

点拨

善于灵活应用单调性求最值，可谓是好的方法．

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的概念，解答题，难，分析问题与逻辑思维能力。

【题目】函数f(x)的定义域为D，若存在x0D，使f(x0)x0成立，则称以(x0,x0)为坐标的点是函数f(x)的图象上的不动点．

（1）若函数f(x)范围。

（2）已知定义在R上的奇函数f(x)存在有限个“不动点”，

证明：函数f(x)必定有奇数个“不动点”．

3x1的图象上有且仅有两个相异的“不动点”，试求实数a的取值xa3xa有两个关于原点对称的不动点，求实数a,b应满足的条件．

xb3x1【解答】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，(x1x2)是函数f(x)的图象上的两个“不xa

（3）若函数f(x)动点”，则有x1y1,x2y2，且这相当于x1,x2是方程3x113x1x1，2x2，

x1ax2a3x1x的两个根．

xa2

因为x1a，x2a，可整理得方程x(a3)x10有两个相异实根，且均不等于a．

(a3)410,及(a)(a3)(a)10．

解得a的取值范围为(,)(,1)(5,)．

（2）由f(x)是R上的奇函数，有f(0)0，（可由f(0)f(0)获得），知点(0,0)是函数f(x)的一个不动点．

若函数f(x)还有“不动点”(x0,x0)，则由f(x)是奇函数，有f(x0)f(x0)，221313

13

．

f(x0)x0，即可知f(x0)x0，点(x0,x0)也是f(x)的一个“不动点”

因此，f(x)的图象上的“不动点”除原点外有限组成对地出现的，再加上原点这一个“不动点”，故其个数是奇数．

（3）

设点(x0,x0)为f(x)3xa的一个“不动点”，则有xbf(x0)3x0a2整理得

x0(b3)x0a0,(x0b)

（1）

x0，x0b

据题意该方程有两个不相等的实根，且两根的绝对值相等，符号相反。

b30，

a0，，可先得b3,a0，

(b3)24(a)0．

而当x0b时，由方程（1）可得a3b，

x0b对应a3b，即a9，

综上，a,b应满足b3,a0且a9．

14