习题1.2教案3

高斯函数及其应用

执教：四川省都江堰中学 沈西德

教学目标：

1. 理解高斯函数的定义，掌握高斯函数的图象与基本性质；

2. 会利用高斯函数的处理一些简单问题。

教学重点：高斯函数的定义、图象与基本性质及简单应用。

教学难点：高斯函数的性质及其应用；

教学课时：2课时。

教学设计：

【问题】（必修1 P25，习题1.2B组第3题）函数f(x)[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[3.5]4，[2.1]2。当x(2.5,3]时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象。

3(2x2.5)2(2x1)1(1x0)（0x1)【解析】函数f(x)的解析式为f(x)0

1(1x2)2(2x3)3(x3)其图象为

y321O-2.5-2-1-1-2-3123x

函数f(x)[x]就是著名的高斯函数，它在许多数学分支中都有广泛的应用，在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与高斯函数有关的试题。本节课，我们就来学习高斯函数的定义、图象和性质。

一．高斯函数的定义

1. 取整函数：

不超过实数x的最大整数，称为x的整数函数，记作f(x)[x]。

显然，取整函数f(x)[x]的定义域为R，值域为Z。

2. 小数函数：

对任意的实数x，都有x[x]{x}，其中{x}为实数x的小数部分，称函数g(x){x}为实数x的小数函数。

显然，小数函数g(x){x}的定义域为为R，值域为[0,1)。

取整函数是由“数学王子”高斯于十八世纪提出的，所以又称为高斯函数。由于任意的实数x，它总是由整数部分和小数部分构成。因此，人们把取整函数和小数函数都称之为高斯函数。

二．高斯函数的图象和性质

1. 整数函数和小数函数图象：

y321-3-2-1O-1-2-31234x-3-2321-1O-1-2-31234xy （取整函数y[x]的图象） （小数函数y{x}的图象）

2. 函数y[x]和y{x}性质：

根据高斯函数的定义，我们不难证明高斯函数具有如下的一些常用性质：

【性质1】对任意xR,均有x1[x]x[x]1；

【性质2】取整函数y[x]是一个不减函数。即对任意x,yR,若xy,则[x][y]；

[x],xZ【性质3】若xR，则[x]；

[x]1,xZ【性质4】若nZ，xR,则有[xn]n[x],{xn}{x}，后一式子表明函数y{x}是一个以1为周期的函数；

【性质5】若x,yR,则[x][y][xy][x][y]1，[xy][x][y]，{xy}{x}{y}；

【性质6】已知x,yR,若[x][y]，则|xy|1；

【性质7】已知x0,y0,则[xy][x][y]；

【性质8】若nN,xR，则[nx]n[x]，{nx}n{x}；

【性质9】若nN,xR,则在区间[1,x]内,恰好有[]个整数是n的倍数；

xn【性质10】若nN,xR,则在[x]x[]；

nny[y]【性质11】若x1,y0，则[]；

x[x]【性质12】设p为质数, nN,则p在n!的质因数分解式中的幂次为nnnp(n!)[][2][m]（其中pmnpm1）

ppp

【性质13】若nN,xR，则[x][x][x][x1n2nn1][nx]；

n三．高斯函数的应用

（一）与高斯函数定义有关的问题

231. [x]表示不大于x的最大整数，若函数f(x)x(xZ)，则f(8.8)（ ）

f([x])(xZ)A．8 B．4 C．2 D．1 【解析】选B。f(8.8)f([8.8])f(8)84。

2.（2010陕西文理，T10）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与．．6．该班人数x之间的函数关系用取整函数y[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为23

（ ）

A．y[xx3x4x5] B．y[] C．y[] D．y[]

10101010【解析】选B。

【法1】特殊取值法，若x56，y5,排除C、D；若x57，y6，排除A，所以选B 【法2】设x10mr(0r9)，

x3r3x][m]m[]；

101010x3r3x当6r9时，y[][m]m1[]1；∴选B。

101010当0r6时，y[（二）与高斯函数图象和性质有关的问题

3．(2013年湖北文科8) x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)x[x]在R上为（ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数

【解析】选D。显然，f(x){x}是周期为1的函数。

4. [x]表示不超过x的最大整数，函数yx3[x]的零点个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】选A。由yx3[x]=0x3[x]。在同一坐标系下作出yx3和y[x]图象。由图可知，两个函数的图象有4个交点。故选A。

（三）与高斯函数有关的方程问题

5. (1993年上海市高中数学竞赛题)自然数x使得[x][][][]1993，则x3!x5!x7!x= 。

xx5!7!xxxx又7!5040，[]0。∴[x][][][]1993

7!3!5!7!xxxx由x1[x]x，∴x31993x

3!5!3!5!141x141x24102即，解得1696

31993x1698120120141141∴x1=1697，x2=1698

【解析】1697。∵x是自然数，且[x][][][]1993，则[x]1993

x3!

经验证，x1=1697是[x][][][]1993的解。

6. (2007年青少年数学国际城市邀请赛)满足25{x}[x]125的所有实数x的和是 。

【解析】由{x}[x]x，∴25{x}[x]12524[x]25x125

又x1[x]x，∴24x2425x12524x101x125

由题设知，25{x}为整数，所以{x}只可能取0，，，，

x3!x5!x7!1225252425n(n0,1,2,,24)时，[x]12525{x}=125n

25n(n0,1,2,,24)

∴x(125n)25当{x}∴x[(125n)n024n](12512425101)(12252524)2837

25（四）高斯函数的其他应用

10937.（1993年全国联赛）整数31的末两位数字是 。

1031093x3x3272727x23x9【解析】令x10，∴31

103x3x3x331由于0271，x23x9的末两位数字是09，

x31093∴整数31的末两位数字09-1=08. 103}，A是M的子集，且满足条8.（1995年全国数学联赛）设集合M{1,2,3,,1995件：当xA时，15xA，则集合A中的元素个数最多是 。

【解析】用n(A)表示集合A所含元素的个数。

在集合M的元素中，是15的倍数共有[个。

由题设，k与15k(k9,10,11,19951995]133个，是152的倍数共有[2]81515,133}这两个数中至少有一个不属于A，所以M中不属于A的元素至少有1338125个。

∴n(A)19951251870

另一方面，可取A{1,2,,8}{134,135,,1995}符合题设。∴n(A)max1870

∴集合A中的元素个数最多199513381870。

【练习与作业】

1. [x]表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x)2[x]1(x[1,3))的值域为（ ）

A.[1,7)

B. [1,5) C.{1,1,3,5}

7} D. {1,1,3,5，【略解】选C。当x[1,0)时，[x]1，此时y1；当x[0,1)时，[x]0，此时y1；

当x[1,2)时，[x]1，此时y3；当x[2,3)时，[x]2，此时y5。

∴函数f(x)2[x]1(x[1,3))的值域为{1,1,3,5}，选C。

2．(2013年陕西理科10) [x]表示不超过x的最大整数，则对任意实数x,y，有（ ）

A．[x][x] B．[2x]2[x] C．[xy][x][y] D．[xy][x][y]

【解析】选D。

【法1】直接利用高斯函数的性质，即选选D。

【法2】（特殊值法）当x1.1时，[x]2,[x]1，故A错；当x1.9时，[2x]3，2[x]2，故B错；当x1.1，y1.9时，[xy]3，[x][y]2，故C错；由排除法知，选D. 3. [x]表示不超过实数x的最大整数，则不等式2[x]211[x]60的解集是 ；

【略解】[0,7)。由不等式2[x]211[x]60得[x]6，∴0x7。

不等式2[x]211[x]60的解集是[0,7)。

4. [x]表示不超过实数x的最大整数，定义函数f(x)x[x]，那么下列命题中为真命题的序号是 。

①函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1]；②方程f(x)=有无数多个解；

③函数f(x)是周期函数；④函数f(x)是周期函数是定义域上是增函数。

1212

【略解】由高斯函数的定义可知，函数f(x){x}。由函数y{x}图象可知，②③是真命题。

x]2010成立？

2010!xxx【略解】假设存在自然数x，使得[x][][][]2010成立，则2!3!2010!5. 是否存在自然数x，使得[x][][]x2!x3![[x]2010。

x[]2010

6!xxxxxx由x1[x]x，∴x62010x

2!3!6!2!3!6!1237x1237x517519即，解得1169

62010x117372072012371237又当n7时，n!2010，∴[]0，∴[x][][]又x是自然数，∴x1=1170，x2=1171，x3=1172，x4=1173

xn!x2!x3!xx2!3!xx所以，不存在自然数x，使得[x][][]2!3!

经验证，xi(i1,2,3,4)均不是[x][][]x]2010的解。

2010!x[]2010成立。

2010![