习题1.2第二课时教案

1.2.2

函数的表示法

习题讲解

第2讲

求函数的定义域、解析式

学习目标

1、学生会求某些函数的定义域. 2、会求函数的解析式。

教学重点

1、求某些函数的定义域. 2、求函数的解析式。

教学难点

抽象函数的定义域. 教学方法

讲授法、谈话法、练习法

预习教材P19－P20，完成下面问题：

知识点

函数的三种表示方法

表示法

解析法

图象法

列表法

定义

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

用图象表示两个变量之间的对应关系

列出表格来表示两个变量之间的对应关系

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．(

) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．(

) (3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(

) 提示

(1)×

如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；

1，x∈Q(2)×

有些函数的是不能画出图象的，如f(x)＝；

－1，x∈∁QR

1(3)×

反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线．

x

题型一

求函数的定义域

1、求具体函数的定义域

【例1】

求函数的定义域：

x31y＝(3x1)

x1解

教师板书解答过程和常见四种类型，并强调对结果取交集

规律方法

当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.

【训练1】

求下列函数的定义域：

12x＋１

2x2(2)ｙ＝2

x4(1)ｙ＝－(3)y1

xx(4)ｙ＝x14x2

(5)ｙ＝4x21

x3x31(3x1)

(6)ｙ＝x1

2、求抽象函数的定义域

【例2】设函数y＝f(x)的定义域[0,1]，求函数f(2x＋1)的定义域

解析

教师板书解答过程，强调注意两点

规律方法

(1)对于复合函数ｆ

［ｇ（ｘ）］而说，如果函数ｆ（ｘ）的定义域为A，则

ｆ

［ｇ（ｘ）］的定义域是使得函数ｇ（ｘ）∈Ａ的ｘ取值范围. (2)如果ｆ

［ｇ（ｘ）］的定义域为A，则函数ｆ(ｘ)的定义域是函数ｇ(ｘ)的值域.

【训练2】

若函数f(2x＋1)的定义域为[0，1]，如何求f(x)的定义域？

解析

∵f(2x＋1)的定义域为

[0，1]，即0≤x≤1 ∴1≤2x＋1≤3 ∴f(x)的定义域为[1，3].

题型二

求函数的解析式

方向1

待定系数法求函数解析式

【例3】

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________．

(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________．

解析

(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以2k＝16，25解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝，

3kb＋b＝－25，

25所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. 3(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x. 2a＝2，故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1. a＋b＝0

25答案

(1)f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋

(2)f(x)＝x2－x＋1 3方向2

换元法(或配凑法) 【例4】

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；

解

(1)法一

(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二

(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1. 因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．

方向3

方程组法求函数解析式

【例5】

已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．

解∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①

∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②

∴由①②得3f(x)＝x2－6x，

1∴f(x)＝x2－2x. 3规律方法

求函数解析式的类型及方法

(1)若已知所要求的解析式f(x)的类型，可用待定系数法求解，其步骤为：①设出所求函数含有待定系数的解析式；

②把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)；

③解方程(组)，得到待定系数的值；

④将所求待定系数的值代回所设解析式．

(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：

①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．

②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．

(3)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．

课堂小结

1.

求函数的定义域

2．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．