信息技术应用 收集数据并建立函数模型国家优质课一等奖

函数模型及其应用

一考纲要求。

1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2.搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二．高考趋势。

函数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用题的主要类型之一，也是高考考查的重点内容。

三．要点回顾

解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解。其解题步骤如下： 1.审题 2.建模（列数学关系式） 3.合理求解纯数学问题。 4.解释并回答实际问题。

四．基础训练。

1．在一定的范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该是 2.根据市场调查，某商品在最近10天内的价格f(t)与时间t满足关系1f(t)10t(1t10,tN)销售量g(t)与时间t满足关系2g(t)24t(1t10,tN)则这种商品的日销售额的最大值为 . 3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件。则分公司一年的利润L(元)与每件产品的售价x的函数关系式为 . 4.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块用心

爱心

专心

矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示）,则围成矩形场地最大面积为 （围墙厚度不计）。

5.某建筑商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按右表折扣分别累计计算。

可以享受折扣优惠金额

不超过500元的部分

超过500元的部分

折扣率

5％

10％

某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为 ；若y30元，则此人购物总金额为 元。

6.在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA,由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积与点P移动的路程间的函数关系式为 五．例题精讲。

例1.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

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例2.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出车将增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，两者都由租赁公司支付。

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，公司的月收益最大？最大月收益是多少？

例3.某城市现有人口100万人，如果每年自然增长率为1.2﹪，试解答下面问题

(1)

(2)

(3)

用心

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写出城市人口总数y（万人）与年份x（年）的

函数关系式

计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）

计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）

六.巩固练习：. 1.铁路机车运行1小时所需的成本由两部分组成：固定部分m元，变动部分（元）与运行速度x（千米／小时）的平方成正比，比例系数为k(k0)，如果机车匀速从甲站开往乙站，甲，乙两站间的距离为500千米，则机车从甲站运行到乙站的总成本y与机车的速度x之间的函数关系为 2.某公司有60万元资金，计划投资甲，乙两个项目，按要求，对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2倍，且对每个项目的投资不少于5万元，对项目甲投资31万元可获得0.4万元的利润，对项目乙投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为 4.某地每年消耗木材约20万立方米，没立方米木料价格为240元，为了减少木5材消耗，决定按木料价格的t％征收木材税，这样每年木材消耗量减少t万立方2米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t的取值范围为 5.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76％，设质量为1的镭经过x年后的剩留质量为y，则y与x之间的函数关系为 6.某公司一年共购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元／吨，一年总储存费用4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则x= 7.用总长为14.8m的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器有一边比另一边长0.5m，则它的最大容积为 m3

8.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元1／吨）之间的关系式为：p24200x2，且生产x吨的成本为R50000200x5（元），问该产品每月生产 吨才能使利润达到最大，最大利润是 万元

9.有甲，乙两种产品经营销售这两种商品所获得的利润依次是p和q（万元）它们与投入的资金x（万元）的关系，有经验公式p13x，qx。今有3万元资金投入经营甲、55乙两种商品，为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应是多少？最多能获得多大的利润？

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