小结教学设计第二课时

第二章

基本初等函数单元小结(第1课时) （一）教学目标 1 。知识与技能 掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质

。对复合函数、抽象函数有一个新的认识。

2 。过程与方法 归纳、总结、提高

。 3 。情感、态度、价值观 培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力

。 （二）教学重点、难点 重点：指数函数、对数函数的性质的运用

。 难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解

。

（三）教学方法 讲授法、讨论法

。 （四）教学过程 教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

复习

引入

（多媒体投影）本章知识结构

学生总结，老师完善。

对本师：请同学们总结本章知识结构

。章知生：（1）指数式和对数式：①整数指数幂；②方根和根式的概念；③分数指数幂；④有理指数幂的运算性质；⑤无理数指数幂；⑥对数概念；⑦对数的运算性质；⑧指数式与对数式的互化关系

。识、方法形成体系

。

（2）指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的定义域、值域；③指数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1，0＜a＜1两种情况）；④不同底的指数函数图象的比较；⑤指数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）。（3）对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的定义域、值域；③对数函数的图象（恒过定点（0，1），分

a＞1和0＜a＜1两种情况）；④不同底的对数函数图象的比较；⑤对数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用；⑦反函数的有关知识

。（4）幂函数：①幂函数的概念；②幂函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；③幂函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）；④幂函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；⑥图象和性质的应用

。

应用举例

11例1 设a＞0，x=（an－an），

例1解：1+x2=1+（an－2+an）

24221122进一步掌握指数函数、对数函数、幂函数求（x+1x2）n的值

。1n=（a）+2+an）

4111=［（an+an）］2

。

21n1n∵a＞0，∴a＞0，a∴a+a1n1n＞0 。

＞0 。

11的概11∴x+1x=x+（an+an）=（a念和222性质等知识

。

培养学生分析问题、1n－a1n1n）+（a+an）=an

。

2111∴（x+1x2）n=a

。

小结：本题考查了分数指数幂的运算性例2 已知函数f（x）=＞0，且m≠1）

。m1mx1x质，技巧是把根号大的式子化成完全平（m方的形式

。

例2解：（1）∵mx＞0，mx+1≠0恒成立，

解决

（1）求函数f（x）的定义域和值域；∴函数的定义域为R

。

y1∵y=x，∴m=＞0 。

1ym1x问题和交流的能力及分类讨论、抽mx1（2）判断f（x）的奇偶性；（3）讨论函数f（x）的单调性

。∴－1＜y＜1 。

∴函数f（x）的值域为（－1，1）

。

（2）∵函数的定义域为R，关于原点对称，

又∵f（－x）=mx1mx1=1mx1mx象理

解能力

。

=－f（x），

∴函数f（x）是奇函数

。

（3）任取x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）=mx11mx11－mx21mx21=2(mx1mx2)(mx11)(mx21)

。

∵mx1+1＞0，mx2+1＞0，

∴当m＞1时，mx1－mx2＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

当0＜m＜1时，mx1－mx2＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

。

综上，当m＞1时，函数f（x）为增函数；

当0＜m＜1时，函数f（x）为减函数

。

例3解：∵f（x）的定义域为

【例3】

己知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）=f 2（x）［1，4］，

+f（x2）的最大值和最小值

。

∴g（x）的定义域为［1，2］

。

∵g（x）=f 2（x）+f（x2）=（1+log2x）

2+（1+log2x2）=（log2x+2）2－2，

又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，

∴当x=1时，g（x）min=2；

当x=2时，g（x）max=7 。

【例4】

求函数y=loga（x－x2）例4解：（1）定义域：由x－x2＞0，得（a＞0，a≠1）的定义域、值域、0＜x＜1，

单调区间

。

∴定义域为（0，1）

。

（2）∵0＜x－x2=－（x－∴当0＜a＜1时，

1211）+≤，

244

1，

41函数的值域为［loga，+∞）；

41当a＞1时，loga（x－x2）≤loga，函数4loga（x－x2）≥loga的值域为（－∞，loga1］

。

4

（3）令u=x－x2，在区间（0，1）内，u=x－x2在（0，1）上递减

。

∴当0＜a＜1时，函数在（0，］上是11］上递增，在［，2212

【例5】

设x≥0，y≥0，且x+2y=1，求函数y=log1（8xy+4y2+1）的值21，1）上是增函数；

21当a＞1时，函数在（0，］上是增函21数，在［，1）上是减函数

。

2减函数，在［小结：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题讨论的分界线是对数的底

。

例5解：∵x+2y=1，

∴x=1－2y≥0

。

又y≥0，∴0≤y≤1

。

2

域

。

∴8xy+4y2+1=8（1－2y）y+4y2+1=－12y2+8y+1 。

∵0≤y≤－1，∴1≤－12y2+8y+1=－12（y2

例6 函数f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］

。

（1）若f（x）的定义域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围；

（2）若（fx）的值域为（－∞，+∞），求实数a的取值范围

。

1277）+≤

。

33312∴log7≤log312（8xy+4y2+1）≤log121=0 。

∴函数的值域为［log127，0］

。

3小结：本题的易错点是代换时没有注意到通过x求出y的范围

。所以我们在代换时要注意等价代换，即考虑到字母的取值范围

。

例6解：（1）∵f（x）的定义域为（－∞，+∞），

∴（a2－1）x2+（a+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立

。

当a2－1≠0时，

2a10,

22Δ(a1)4(a1)0,1,a1a或

即5

a1a或

.35∴a＜－1或a＞

。

3当a2－1=0时，若a=－1，则f（x）=0，定义域也是（－∞，+∞）；

若a=1，则f（x）=lg（2x+1），定义域不是（－∞，+∞）

。

故所求a的取值范围是（－∞，－1］∪

（5，+∞）

。

3（2）∵f（x）的值域为（－∞，+∞），

∴只要t=（a2－1）x2+（a+1）x+1能取到（0，+∞）内的任何一个值

。

2a10,∴22Δ(a1)4(a1)

0,≥

1,

a1a或即

51a.≤

≤

35∴1＜a≤

。

3又当a2－1=0时，若a=1，则f（x）=lg（2x+1），其值域也是（－∞，+∞）；

若a=－1，则f（x）=0，不合题意

。

∴所求a的取值范围是［1，5］

。

3课后

作业

作业：小结与复习

习案

学生先自回顾反思，教师点评完善．

学生独立完成

（五）板书设计：

回顾反思

构建体系

经典例题

例1

例2

例3

（六）教学反思：

难度应该适当降低。

例4 例5 例6 作业