习题3.1教案教学设计导入设计

3.1.1方程的根与函数的零点

浏阳二中：成亚明

教学目标：

知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法：零点存在性的判定．

情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：

重点：零点的概念及存在性的判定． 难点：零点的确定．

教学过程：

一、复习回顾，新课导入

讨论：一元二次方程axbxc0(a0)的根与二次函数yaxbxc(a0)数的图象有什么关系？

先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．

方程x22x30与函数yx2x3；

方程x22x10与函数yx2x1；

方程x22x30与函数yx2x3；

y

xxx x1=x2

x y y 22222x

2x1=x2

再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．

一元二次方程axbxc0(a0)有两不同根就是相应的二次函数yax2bxc0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程axbxc0(a0)有两个重根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；

一元二次方程axbxc0(a0)无实数根就是相应的二次函数2

yax2bxc0的图象与x轴没有交点；

总之，一元二次方程axbxc0(a0)的根就是相应的二次函数2yax2bxc0的图象与x轴的交点的横坐标．

二、师生互动，新课讲解：

1、函数的零点

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）．

显然，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

例1：函数f(x) =(x-1) (x+2) (x-3) 的零点为（

）

A （1,0），（-2,0），（3,0） B 1,3 C （0,1），（0，-2），（0,3） D 1，-2,3 例2：试求出下列函数的零点 （1）f(x)log3x1（2）f(x)39 （3）xf(x)lnx2x6

2、函数零点的判定：

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。

问题1：

如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

问题2：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、

B两点在x轴的两侧。

问题3：

A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）<0来表示。

问题4：

满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？

一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。

思考2：（1）观察二次函数f(x)=x-2x-3的图像，

f(-2)与f(0)的积有什么特点？函数在区间(-2,0)上有零点吗？在[2,4]上呢？

观察二次函数f(x)=x-2x-3图象

1. f(-2)= ，f(1) = f(-2) f(1) 0 (填“>”或“<”)发现在区间(-2，1)上有零点 2. f(2)= ，f(4) = f(2) f(4) 0 (填“>”或“<”)发现在区间(2，4)上有零点 通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：

一般地，我们有：

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如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

⑴函数零点的意义：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

⑵函数零点的求法：求函数yf(x)的零点：

①（代数法）求方程f(x)0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． ⑶二次函数的零点：yaxbxc(a0)．

①

△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

②

△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

③

△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

试一试

1：函数f(x)=-x-3x+5的零点所在大致区间为：（ ）

A、(-1，0) B、(1，2) C、(0，1) D、(0,0.5) 2：判断正误，若不正确，请使用函数图像举出反例。

(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a).f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有零点. (2)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有零点，则f(a).f(b)<0 (3)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a).f(b)>0，则函数y=f(x)区间(a,b)上没有零点

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(4)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a).f(b)<0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且只有一个零点

例2： 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数

解：用计算器或计算机作出

x, f(x)

的对应值表（表3--1）和图像。

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)

4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由上表可知：

f(2)<0,f(3)>0，得f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点. 三、课堂小结，巩固反思：

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a,b)内至少有一个实数解．

会用代数法或几何法（特别转化为两条曲线的交点）来判断零点的个数。

四、课堂检测

1、函数f(x)=(x-2)(x-3x+2) 的零点个数为（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4 2、函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)>0,则函数f(x)在区间[a,b]上( ) A 一定没有零点 B 至少有一个零点 C 只有一个零点 D 零点情况不确定

3、函数f(x)=2+3x的零点所在大致区间为（ ）

A （-1，0） B （0,1） C （1,2） D （2,3） 五、布置作业：

A组：

1、（课本P92习题3.1 A组 NO：2）

2、求下列函数的零点：

（1）yx5x4；（2）yxx20；（3）y(x1)(x3x1)；

222x22

（4）f(x)(x22)(x23x2)．

3、求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

12（2）y2x24x1．

x2x1；324、已知f(x)2(m1)x4mx2m1：

（1）y（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．

5、求下列函数的定义域：

（1）y22（2）yx3x4；（3）yx4x12

x29；6、设函数f(x)lnxx1．求函数f(x)的零点个数。

B组：

11、函数f(x)＝x＋的零点个数为( A ) xA．0

B．1

C．2

D．3 2．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(

) A．若f(a)f(b) <0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0 答案

D 3．方程2＋x＝0在下列哪个区间内有实数根(

) A．(－2，－1) B．(0,1) C．(1,2) D．(－1,0) 答案

D 4．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是(

) A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B．函数f(x)在(3,5)内无零点

C．函数f(x)在(2,5)内有零点 D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

答案

C 5．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(

)

x

A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2) 答案

B 解析

f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，

f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0. 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

所以其零点一定位于区间(3,4)．