习题1.2主要内容及教案内容

●三维目标

1．知识与技能

(1)通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；

(2)用集合与对应的语言刻画函数；理解函数的三要素及函数符号f(x)的深刻含义；

(3)会求一些简单函数的定义域及值域．

2．过程与方法

让学生通过合作探究，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的数学思想，培养学生的抽象概括能力，体会数学形成和发展的一般规律，强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想．

3．情感、态度与价值观

(1)树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识；

(2)渗透数学思想，强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度；同时感受数学的抽象性和简洁美，激发学生学习数学的热情．

●重点难点

重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．

难点：函数概念及函数符号y＝f(x)的理解

(1)重点的突破：以学生熟知的函数及初中函数的定义为切入点，引导学生结合具体实例，分组交流讨论，归纳概括出实例的共同特点，在此基础上，结合集合知识，利用对应的观点形成函数概念的教学，整个过程通过学生的“观察→分析→比较→归纳→概括”，最终由特殊到一般，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，在培养学生抽象概括能力的同时重难点得以突破；

(2)难点的解决：理解函数符号y＝f(x)是本节课的另一个难点，为此，应采用分层推进的方式化解难点．首先，从实例出发，引出数学符号f(x)的抽象含义，通过用“加工厂”(如下图所示)的类比，突破难点，让学生对函数的理解上升一个台阶．

x⇒f加工⇒fx

(原料库)

(加工厂)

(成品库)

【问题导思】

一枚炮弹发射后，经过26s落在地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度为h(单位：m)，随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. 1．炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么？

【提示】

A＝{t|0≤t≤26}．

函数的概念

2．炮弹距地面的高度h的变化范围的集合B是什么？

【提示】

B＝{h|0≤h≤845}，

3．对任一时刻t，高度h是否唯一确定？

【提示】

唯一确定．

设A，B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在函数的概念

集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，

那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法

定义域

值域

y＝f(x)，x∈A

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域

【问题导思】

3

能否计算：[1,2]∪2，4？结果是什么？

【提示】

区间只是集合的一种表示形式，对于集合的“并、交、补”运算仍然成立，故可3以计算[1,2]∪2，4；结果是[1,4]．

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a＜b，规定如下：

定义

{x|a≤x≤b}

{x|a＜x＜b}

{x|a≤x＜b}

名称

闭区间

开区间

符号

[a，b]

(a，b)

数轴表示

区间的概念及表示

半开半闭区间

(a，b)

{x|a＜x≤b}

2.特殊区间的表示

定义

符号

R

(－∞，

半开半闭区间

(a，b)

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|x＜a} (－∞，a)

＋∞)

判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．

(1)A＝N，B＝N＋，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；

(2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；

(3)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．

【思路探究】

判断一个对应关系是不是函数，首先看A，B是否是非空数集；其次要看A中的任意一个元素在B中是否有唯一的元素与之对应．

【自主解答】

(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数；

(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数；

(3)集合A不是数集，故不是函数．

判断一个对应关系是否是函数的两个条件

判断下列对应是否为函数．

1(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝2；

x(2)A＝N，B＝R，f：x→y＝±x；

(3)A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－2|；

(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. 【解】

(1)因为A＝R，B＝R，对于A中的元素x＝0，

1在对应关系f：x→y＝2之下，在B中没有元素与之对应，因而不能构成函数．

x(2)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，故不能构成函数．

(3)对于A中的元素x＝2，在对应关系f的作用下，|2－2|＝0∉B，从而不能构成函数．

(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一的元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．

相等函数的判定

试判断以下各组函数是否表示同一函数：

3(1)f(x)＝x2，g(x)＝x3；

(2)f(x)＝(x)2，g(x)＝x2；

(3)y＝x0与y＝1(x≠0)；

(4)y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z. 【思路探究】

分别求解各组中函数的定义域，并化简有关对应关系，根据函数相等的定义，即可得结论．

3【自主解答】

(1)由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝x3＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数；

(2)由于函数f(x)＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝x2的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数；

(3)由于y＝x0要求x≠0，且x≠0时，y＝x0＝1，故y＝x0与y＝1(x≠0)的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数；

(4)y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，故不表示同一函数．

1．判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．

2．如果要判断的函数较为复杂，在定义域相同的条件下，可先化简再比较．

下列函数中，与函数y＝x相同的是(

) x2A．y＝(x)B．y＝x C．y＝x D．y＝

x2

332【解析】

A选项y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}与函数y＝x的定义域不同；

C选项y＝x2的值域为{y|y≥0}与函数y＝x的值域不同；

x2D选项y＝的定义域为{x|x≠0}与函数y＝x的定义域不同；

x3B选项y＝x3＝x，其定义域，对应关系与函数y＝x相同．

【答案】

B

求函数的定义域

求下列函数的定义域．

x＋20(1)y＝；

|x|－xx2－1(2)f(x)＝－4－x. x－1【思路探究】

观察函数解析式的特点→列不等式组

→求范围

x＋2≠0【自主解答】

(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

|x|－x≠0，x≠－2即∴x<0且x≠－2，

|x|≠x，

∴原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．

4－x≥0x≤4(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即

x－1≠0，x≠1，

∴原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．

1．要使函数有意义应有

(1)分式的分母不为0；

(2)偶次根下非负；

(3)y＝x0中要求x≠0；

(4)实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义；

(5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

2．函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．

函数f(x)＝x＋2－x的定义域是(

) A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2]D．(－∞，2) 【解析】

要使函数f(x)有意义，只需2－x≥0，即x≤2. 即函数f(x)的定义域为{x|x≤2}．

【答案】

C 1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．

2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．

3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.