习题1.2公开课教案（教学设计）

函数的概念（一）

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》（人教A版）《1.2.1 函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花”。

生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。

函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学”。

二、学生学习情况分析

函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：（一）初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数；（二）高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学习典型的对、指、幂和三解函数；（三）高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

1．有利条件

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构的基础上的，因此教师在设计教学的过程中必须注意在学生已有知识结构中寻找新概念的固着点，引导学生通过同化或顺应，掌握新概念，进而完善知识结构。

初中用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。也为我们用集合与对应的观点研究函数打下了一定的基础。

2．不利条件

用集合与对应的观点来定义函数，形式和内容上都是比较抽象的，这对学生的理解能力是一个挑战，是本节课教学的一个不利条件。

三、教学目标分析

课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

1．知识与能力目标：

⑴能从集合与对应的角度理解函数的概念，更要理解函数的本质属性；

⑵理解函数的三要素的含义及其相互关系；

⑶会求简单函数的定义域和值域

2．过程与方法目标：

⑴通过丰富实例，使学生建立起函数概念的背景，体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型；

⑵在函数实例中，通过对关键词的强调和引导使学发现它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用. 3．情感、态度与价值观目标：

感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。

四、教学重点、难点分析

1

1．教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数；

重点依据：初中是从变量的角度来定义函数，高中是用集合与对应的语言来刻画函数。二者反映的本质是一致的，即“函数是一种对应关系”。

但是，初中定义并未完全揭示出函数概念的本质，对y1这样的函数用运动变化的观点也很难解释。在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个数集之间的一种对应关系，按照这种观点，使我们对函数概念有了更深一层的认识，也很容易说明y1这函数表达式。因此，分析两种函数概念的关系，让学生融会贯通地理解函数的概念应为本节课的重点。

突出重点：重点的突出依赖于对函数概念本质属性的把握，使学生通过表面的语言描述抓住概念的精髓。

2．教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念；第二：符号“y=f(x)”的含义的理解. 难点依据：数学语言的抽象概括难度较大，对符号y=f(x)的理解会受到以前知识的负迁移。

突破难点：难点的突破要依托丰富的实例，从集合与对应的角度恰当地引导，而对抽象符号的理解则要结合函数的三要素和小例子进行说明。

五、教法与学法分析

1．教法分析

本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，关注学生的原有的知识基础，注重概念的形成过程，从初中的函数概念自然过度到函数的近代定我。

2．学法分析

在教学过程中我注意在教学中引导学生用模型法分析函数问题、通过自主学习法总结“区间”的知识。

六、教学手段分析

PPT课件

七、

教学过程分析

教学环节

设计意图

从初中的函数概念（一）创设情境，引出概念

1．将函数概念从“运动变化”观点过渡到“集合与对应”入手，与学生原有知识对接。事实上，课堂上语言，初步引出函数的近代定义。

函数的概念在初中已作过介绍，它是这样表述的：设在一个很多学生都不能较准确变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有惟地回忆起这个初中的函数概念。反映了学生并一的值y与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

未抓住函数概念的“灵

函数是两个变量之间的一种对应关系：

魂”。

对应要求：每一个x——→唯一y 因此，我首先引导学

教师在初中函数概念的基础上引导学生，将自变量的取值生将初中函数概念的进做成一个集合A，而把函数值看成是一个集合B的中元素，则行概括表述——函数是函数的概念就可以用用集合的语言来描述：

两个变量之间的一种对应关系。有什么对应要

函数是两个集合之间的一种对应关系：

求呢？每一个x，都有唯集合A——→集合B 一的y和它对应。

对应要求：任意一个x——→唯一y

2．阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数

三个引例的作用三：

学模型的思想：

⑴体会函数的模型化⑴炮弹的射高与时间的变化关系问题；（解析式法）

思想，

2

⑵南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（列表法）

⑶“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.（图象法）

分析、归纳以上三个实例，使学生切实感受函数的三种表示法，更重要的是引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系，同时特别指出对“对应关系f”的强调，可以是解析式，也可以是表格，还可以是图象.

函数是两个集合之间的一种对应关系：

f : 集合A——→集合B 对应要求：任意一个x——→唯一y ⑵感知三种表示方法，全面认识函数；

⑶引导学生从集合与对应的角度分析这三个函数模型，体会对应关系的重要性和各种表现形式，完善函数的近代定义。

（二）准确定义，分析疑点

1．函数概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．

记作：

y=f(x)，x∈A．

定义域：自变量x的取值集合，即集合A.

由于与初中函数概念实现了很好的对接，概念的理解已不是难点，此时对函数符号的理解又上升为主要难点。

因此，这里着首剖析了概念的内涵与外延，值

域：函数值y取值集合，通常值域{y|yf(x)}B(这而值域是B集合的子集里先让学生记下，下一节课再解释)．

这一难点留至下一课2．概念剖析

时，以突出这节课的重①构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

点，分散难点。

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x．

③“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

（三）介绍区间，自学归纳

向学生指明区间是表1．由学生自己总结出区间的几种形式；

示“数轴上连续实数”2．思考区间与集合的关系.

的一种特殊集合，为了简便而引入的。

（四）知新温故，逻旋上升

函数的学习离不开典函数

定义域

值域

对应关系

型函数的载体，这里从

ykx(k0)

新的角度梳理学过的常

见函数，使认识逻旋上k

y=(k≠0) 升。

x

y=ax+b(a≠0)

y=ax2+bx+c(a≠0)

（五）巩固深化，反馈矫正

1例题的设计，兼顾例1．已知函数f (x) = x3+

函数的符号表示、函数x2（1）求函数的定义域；

的概念与三要素，围绕重点问题设计。

3

2（2）求f（－3），f ()的值；

3（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值. 例2．下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = (x)2 ;

（2）y = (3x3)

;

x22

（3）y =x;

（4）y=

x例3．判断下列对应是否为函数

2（1）f:x(x0) x（2）f:xy.其中y2x，xN，yR

（3）f:xy.yx2，xA{2,1,2,3}，yB{1,4,9}

（4）f:xy.yx2，xA{1,2,3}，yB{1,4,9,10}

（5）f:xy.yx2，xA{1,2,3}，yB{1,4}

（六）归纳小结，知识梳理

1. 函数的定义:初中定义，高中定义

2. 函数三要素的认识

3. 函数符号的认识

4. 区间

（七）评价与作业

1．求下列函数定义域和值域

1（1）f(x)1x （2）g(x)

x12．生活中有许多函数的模型，试举出适合用解析式法、图象法和列表法表示的函数实例各一个。

3．思考：y=1（x∈A）是不是函数？

总结时再次强调，学习函数的概念要抓住概念的灵魂，重在理解。

注意了梯度的拉开和与生活实践的联系，带着理论重新审视生活中的原型；同时，评价的设计还考虑了基础性、亲和力与发展能力并重的原则。

八、教学设计说明

本节课的设计紧紧围绕函数的概念这一核心，设计时注意了以下两点：

第一，注重在学生已有的知识基础上引出新知，从初中的函数定义自然过渡到高中的函数定义，再从集合与对应的角度重新分析初中的几种常见函数，温故知新，逻旋上升。

第二，注重理解，揭示函数概念的本质，抓住函数概念的灵魂，培养学生的概括能力。

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