小结课堂实录【2】

函数最值的求法之基本不等式教学设计

高一数学组 李霖

一、教材分析

函数的最值是人教A版高中数学必修1第一章第1.3节的内容，是学生学习了函数概念、单调性的基础上所研究的函数的一个重要性质，而求函数的最值在整个高中阶段都具有重要意义。基本不等式是人教A版高中数学必修5第三章第3.4节的内容。它是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。求函数最值是现行高考的热点，本节课重在研究利用基本不等式求函数的最值。在教学中通过演绎替换的角度引导学生认识基本不等式，并利用基本不等式求函数的最值的简单应用。

二、

教学目标

根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，

确定本节课的教学目标如下：

1、知识与技能目标：掌握基本不等式，理解不等号“≥”取等号的条件是当且仅当这两个数相等；会用基本不等式求函数最值。

2、过程与方法目标：引导学生理解基本不等式，通过两种模型工具，明确其求最值的简单应用。培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3、情感、态度、价值观目标：通过本节的学习，会运用基本不等式解决简单的最值问题，体会数学的应用价值，感受数学的完整性，提高学习数学的兴趣。

三、

教学重点和难点

教学重点：理解基本不等式abab，会用基本不等式求函数的最值。

2教学难点：应用基本不等式求最值的条件以及如何构造模型来求函数的最值。

重难点确定的依据： 1、从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，同时基本不等式在其他教学过程中有着广泛的应用。

2、从学生认知水平来看，该班是我校第一层次的班级，学生的分析构造能力和注意定理使用细节（或条件）的能力还有待提高。

3、从命题角度来看，应用基本不等式求函数最值是高考要求比较高的也是学生容易忽略的一种重要的方法。

四、教法学法分析

通过学生熟悉的知识出发，以激发学生的求知欲，引起学生的思考，让学生在尝试探索中不断地发现问题，并在过程中获得自信心和成功感。学生通过对试题的解决，利用并巩固相关的知识，进而在强调知识的严谨性的同时注重知识的形成过程和总结归纳价值。

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五、教学过程

(一）

情境引入

从初中所学的完全平方公式(ab)20a2b22ab0a2b22ab

问题1：取等的条件是什么？

于是我们得到下面重要不等式。

设计意图：由学生熟悉的初中知识引入，留下悬念，引起学生的兴趣。同时引出了重要不等式，分析过程其实就是对重要不等式的证明，也为基本不等式的得到提供了保障（基本不等式在本节课中没有给出严格的证明）。

(二)形成新知

1.重要不等式：

如果a,bR，那么ab2ab，当且仅当ab时等号成立. 问题2：如果a0,b0，我们用a,b分别代替a,b可以得到什么结论？取等号的条件是什么？ 通过上面问题，师生讨论得到下面的基本不等式。

2.基本不等式（均值不等式）：

如果a0,b0，那么22abab，当且仅ab时等号成立。

2注意：①适用条件：a0,b0;

②等号成立条件：当且仅当ab.

设计意图：由重要不等式经过演绎替换得到基本不等式。在获取基本不等式的过程中，运用类比的数学思想，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。

探究

下列各函数中，最小值等于2的函数是（

）

1A.yx(x0)x1B.yx(x0)x1C.yx(x3)x1D.yx(x2)

x通过师生共同探究得到基本不等式求最值的条件。

3. 基本不等式求最值的条件

(1)各项必须是正数；一正

(2)和或者积是定值；二定

(3)等号成立的条件是否满足．三相等

等号取不到，考虑“对勾函数”

设计意图：

（1）一方面，通过举例探究强调求最值的条件，重点让学生体会“一正”“二定”“三相等”2

的条件（二四班部分学生知道基本不等式，但是不注重求最值的条件），缺一不可，实例便于学生理解。另一方面，让学生体会到基本不等式在解决最值问题中不是万能的，当等号取不到时，通常可以借助对勾函数yxp(p0)的单调性求得函数的最值。

x（2）设计一个探究让学生参与，有助于学生加深对“当且仅当”的理解，培养了学生分析问题、解决问题的能力。

4.基本不等式求函数最值常用模型

(1)x0,x112;x0,x2;

xxba(2)a,b同号,2.ab

设计意图：通过上面的探究实例，学生对基本不等式有一定的了解，此时给出一类使用基本不等式求函数最值的模型，为后续学生解题提供必要的工具，符合学生的认知特点，先有工具再解题。

（三）例题精讲 4例1、若x>2，求y=x＋的最小值.

x－24变式1、若x<2，求y=x＋的最大值.

x－219例2、已知x>0，y>0，且＋＝1，求x+y的最小值.

xy19变式1、已知x>0，y>0，且x+y=1，求＋的最小值. xy变式2、求函数y19的最小值. cos2xsin2x例3、已知x>0，y>0，且x+ y =1，求z=(x+)(y+)的最小值. 设计意图：

1x1y

（1）通过三道例题及其变式让学生学会使用基本不等式求函数最值的方法，在此过程中不断熟悉我们给出的两种模型工具。同时通过学生的试错，使学生不断体会到用基本不等式求函数最值的条件“一正、二定、三相等”。

（2）一题多解给学生发展思维，同时引导培养学生分析问题，解决问题的能力。

（四）

课堂小结

1、基本不等式：如果a0,b0，那么

abab，当且仅ab时等号成立。

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2、基本不等式求函数最值的条件 一正 二定 三相等 3、基本不等式求函数最值常用模型 (1)x0,x112;x0,x2;

xxba(2)a,b同号,2.

ab设计意图：课堂小结，顾名思义，就是对本节知识点进行梳理、整合，对重点知识或难点进行强调。课堂小结让学生思考，发挥他们的主观能动性，使课堂小结既具有整合梳理的功能，又有调控与矫正的功能。

六、

板书设计

电子白板屏幕

主板书【一直保留】

1.基本不等式

abab22.基本不等式求最值的条件

一正、二定、三相等 3.基本不等式求最值的常用模型

(1)x0,x112;x0,x2;xx辅板书：例题等

ba(2)a,b同号,2.ab

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