习题2.3教案设计

1．3.1

单调性与最大(小)值

第1课时

函数的单调性

明目标、知重点

1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．

1．函数的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．基本函数的单调区间

(1)y＝ax＋b(a>0)的单调增区间为(－∞，＋∞)．

(2)a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为[0，＋∞)．

1(3)函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

x

[情境导学]

函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．

探究点一

函数的单调性的有关概念

思考1

画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？

答

根据列表法的三个步骤：列表→描点→连线得两函数的图象如下：

函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．

思考2

如何描述函数f(x)＝x2随着自变量x值的变化，函数值f(x)的变化情况？

答

在(－∞，0]上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐减小；在(0，＋∞)上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐增大．

思考3

如何用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？

答

在给定区间上任取x1，x2且x1

思考4

当x增大时，f(x)的值随着增大，我们说f(x)是增函数；当x增大时，f(x)的值减小，我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈I，你能给增函数和减函数下个定义吗？

答

增函数的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

小结

函数的单调性定义：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

例1

如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解

y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．

反思与感悟

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

跟踪训练1

根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．

解

函数在[－1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．

探究点二

增函数、减函数的证明或判断

思考1

判断函数单调性的方法有哪些？证明函数单调性的方法有哪些？

答

定义法，图象法．证明函数单调性有定义法．

思考2

根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？

答

(1)取值：任取x1，x2∈D，且x1

(2)作差：f(x1)－f(x2)；

(3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积或商的形式；

(4)定号：判断差f(x1)－f(x2)的正负；

(5)小结：指出函数f(x)在给定区间D上的单调性．

k例2

物理学中的玻意耳定律p＝(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积VV减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．

证明

根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1＜V2，则

V2－V1kkp(V1)－p(V2)＝－＝k×. V1V2V1V2由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0. 由V10. 又k>0，于是p(V1)－p(V2)>0，即p(V1)>p(V2)．

k所以，函数p＝，V∈(0，＋∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．

V反思与感悟

运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1

1跟踪训练2

证明：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

x证明

设任意x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

11x2－x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，

x1x2x1x2由x1，x2∈(0，＋∞)得，x1x2>0，又x10，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

1∴f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

x探究点三

函数单调性的应用

思考1

如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？

答

先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，则当x1

思考2

已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？

答

能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．

例

已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)

－1<1－a<1解

由题意可知，

－1<2a－1<1

解得0

又f(x)在(－1,1)上是减函数，

且f(1－a)

2∴1－a>2a－1，即a<.②

32由①②可知，0

32即所求a的取值范围是0

不等式f(1－a)

跟踪训练3

本例中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)

解

∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)

2∴1－a<2a－1，即a>，

32，＋∞. ∴所求a的取值范围是3

1．已知函数f(x)＝－x2，则(

) A．f(x)在(－∞，0)上是减函数

B．f(x)是减函数

C．f(x)是增函数

D．f(x)在(－∞，0)上是增函数

答案

D 解析

f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝0，所以f(x)在(－∞，0)上是增函数．

62．函数y＝的减区间是(

) xA．[0，＋∞)

B．(－∞，0]

D．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．(－∞，0)，(0，＋∞)

答案

C 6解析

函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但是其在定义域上不单调，它有两个单x调减区间，应该写为(－∞，0)，(0，＋∞)．

3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是(

) 1A．f(x)＝x2

B．f(x)＝

xC．f(x)＝|x|

D．f(x)＝2x＋1 答案

B 1解析

f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．

x4．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

答案

m≤－16 m解析

由题意，得函数f(x)＝4x2－mx＋5的对称轴x＝≤－2，所以m≤－16. 8b5．已知函数y＝ax和y＝－在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在区间(0，x＋∞)上是增函数还是减函数？

b解

函数y＝ax和y＝－在区间(0，＋∞)上是减函数，则a<0且b<0，于是y＝ax2＋bx的对xb称轴x＝－<0且开口向下，所以y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是减函数．

2a[呈重点、现规律]

1．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．

2．对增函数的判断，当x1

fx1－fx2(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地x1－x2fx1－fx2也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. x1－x23．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．

4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调1递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0)．

fxfx15．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较. fx2

一、基础过关

1．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(

) fx1－fx2A.>0 x1－x2B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x10 fx1－fx2答案

C 解析

因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1

2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是(

) 3A．y＝x2－2

B．y＝

xC．y＝1＋2x

D．y＝－(x＋2)2

答案

C 解析

函数y＝x2－2在(－∞，0]内是减函数；

3函数y＝在(－∞，0)内图象是下降的，也不是增函数；

xy＝1＋2x在R上都是增函数，

所以在(－∞，0]上是增函数；

y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．

3．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是(

) A．增函数

B．减函数

D．既增又减函数

C．不增不减函数

答案

B

x1－x2<0，x1－x2>0，解析

∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔或

fx1－fx2>0fx1－fx2<0.

即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)

不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数．

4.如果f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(3＋t)＝f(3－t)，那么(

) A．f(3)

B．f(1)

D．f(6)

A 解析

由于f(x)是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f(3＋t)＝f(3－t)，

∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞)为函数的增区间，由f(1)＝f(3－2)＝f(3＋2)＝f(5)，

又∵3<5<6，∴f(3)

答案

(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析

二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2. 6．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)

3答案

[1，) 2－1≤x－2≤1，解析

由题意，得－1≤1－x≤1，x－2<1－x，

3解得1≤x<，

23故满足条件的x的取值范围是1≤x<. 247．证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

x证明

任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1

44则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－

x1x24x2－x1x1x2－4＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). x1x2x1x2∵24，x1x2－4>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

4∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

x二、能力提升

－x＋3a，x≥0，8．已知函数f(x)＝2是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是x－ax＋1，x<0

(

) 11A．[0，]

B．(0，) 3311C．(0，]

D．[0，) 33答案

A 解析

当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋113a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤. 339. 若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是(

) A．0≤m≤4

C．m≤0

答案

A 解析

由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(2)＞f(0)，解得a＜0.又因f(x)图象的对称轴为－4ax＝－＝2.所以x在[0,2]上的值域与[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m的取值2a范围是0≤m≤4. ax＋110．函数f(x)＝(a为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a的取值范围是________．

x＋21答案

a＞

2ax＋11－2a1解析

函数f(x)＝＝a＋，由于f(x)存在增区间，所以1－2a＜0，即a＞. 2x＋2x＋211．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

解

y＝－x2＋2|x|＋3 22－x＋2x＋3

x≥0－x－1＋4

x≥0＝2＝. 2－x－2x＋3

x<0－x＋1＋4

x<0B．0≤m≤2 D．m≤0或m≥4

函数图象如图所示．

函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，

函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．

∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，

单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．

a12. 已知a>0，函数f(x)＝x＋

(x>0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)x上是增函数．

证明

设x1，x2是任意两个正数，且0

aax1＋－x2＋

则f(x1)－f(x2)＝xx12＝x1－x2(xx－a)．

x1x212当0

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；

当a≤x1a，又x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．

三、探究与拓展

ax＋11a≠在(－2，＋∞)上的单调性．

13. 讨论函数f(x)＝x＋22ax＋11－2a解

f(x)＝＝a＋，

x＋2x＋2设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1

1－2a1－2a则f(x1)－f(x2)＝－

x1＋2x2＋2＝(1－2a)x2－x1，

x2＋2x1＋2∵－20，

又(x2＋2)(x1＋2)>0. 1(1)若a<，则1－2a>0，

2∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．

1(2)若a>，则1－2a<0. 2∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．

1综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；

21当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．

2