小结精品学案

函数的基本性质

教学目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

（3）了解奇偶性的概念,回

会利用定义判断简单函数的奇偶性。

重点与难点

（1）判断或证明函数的单调性；

（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

教学过程

一、

函数的单调性

1．单调函数的定义

（1）增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做yf(x)的单调区间。

2、单调性的判定方法

（1）定义法：

判断下列函数的单调区间：y1

2x（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（3）复合函数的单调性的判断：

设yf(x)，ug(x)，x[a,b]，u[m,n]都是单调函数，则yf[g(x)]在[a,b]上也是单调函数。

①若yf(x)是[m,n]上的增函数，则yf[g(x)]与定义在[a,b]上的函数ug(x)的单调性相同。

②若yf(x)是[m,n]上的减函数，则yf[g(x)]与定义在[a,b]上的函数ug(x)的单调性相同。

1

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的

单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

练习：（1）函数y4x2的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．

（2）y

3、函数单调性应注意的问题：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在是增（或减）函数

4．例题分析

证明：函数f(x)上1x4x52的单调递增区间为 ．

1在(0,)上是减函数。

x证明：设任意x1，x2∈（0，+∞）且x1x2，

则f(x1)f(x2)11x2x1，

x1x2x1x2由x1，x2∈（0，+∞），得x1x20，又x1x2，得x2x10，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

所以，f(x)1在(0,)上是减函数。

x1不能说

x说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：y(,0)(0,)是原函数的单调递减区间；

练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数f(x)x1的单调性。

2．根据单调函数的定义，判断函数f(x)

二、函数的奇偶性

1．奇偶性的定义：

2 3x的单调性。

（1）偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。例如：函数f(x)x21, f(x)x42等都是偶函数。

（2）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。例如：函数f(x)x，f(x)都是奇函数。

1x（3）奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2）

f(x)f(x)或f(x)f(x)必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(x)，看是等于f(x)还是等于f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

（4）函数f(x)0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)f(x)也满足f(x)f(x)。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

（6）奇函数若在x0时有定义，则f(0)0．

2、函数的奇偶性判定方法

（1）定义法

（2）图像法

（3）性质罚

3．例题分析：

判断下列函数的奇偶性：

1x2（1）f(x)|x|x

（ ）

（2）f(x)（ ）

2|x2|说明：在判断f(x)与f(x)的关系时，可以从f(x)开始化简；也可以去考虑f(x)与1或1的关f(x)f(x)或f(x)f(x)；当f(x)不等于0时也可以考虑f(x)2系。

五．小结：1．函数奇偶性的定义； 2．判断函数奇偶性的方法；

3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

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三、函数的最大值或最小值

1．最大值的定义：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

⑵存在x0∈I，使得f(x0) = M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

2 ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义．

3．例题分析：

例4．（教材P35例4）求函数y解：（略）

巩固练习：（教材P36练习5）

基础练习：

一、选择题、每个题目中，只有一个选项是正确的。

1、函数f(x)=x-2 +2-x 是（ C ）

A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、非奇非偶函数2．在区间(,0)上为增函数的是

（B ）

A．y1

22在区间[2，6]上的最大值和最小值．

x1

B．yx2

1x2C．yx2x1 2D．y1x

3．函数yxbxc(x(,1))是单调函数时，b的取值范围

（ B ）

A．b2 B．b2 C ．b2

D．

b2

4．如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[b,a]有

（ A ）

A．最大值 B．最小值

5．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

4 C ．没有最大值

D．

没有最小值

A．y=2x＋1 C．y=（ C ）

B．y=3x＋1 D．y=2x＋x＋1 22

2

x-26．函数y=(x－1)的减区间是_（_1，＋∞）

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