习题1.2优秀教案说课稿

函数及其表示

一、复习目标

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

二、知识梳理

1．函数的概念

(1)给定两个非空的A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中数x，在B中都有确定的数y与之对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，此时的x叫作自变量，集合A叫作函数的，集合C＝{f(x)|x∈A}叫作函数的_______

且C⊆B. (2)函数有三个要素：_______、_______和__________. 2．函数的表示

列表法：用_________的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．

图象法：用_________把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．

解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的_________表示出来，这种方法称为解析法．

3．分段函数

(1)分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的

_________的函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域是各段定义域的_________，其值域是各段值域的_________. 4．映射的概念

如果两个集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的__________元素，B中总有____________的元素y与之对应，就称这种对应是从到A到B的映射．

三、热身练习

11.(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(

) 1－xA．(－∞，－1)

B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，＋∞) 1＋xx1(2)设函数f(x)＝ln，则函数g(x)＝f()＋f()的定义域为____________．

2x1－x解：并抓住函数的定义进行判断．对每一个x，都有唯一确定的y与之对应才构成函数关系，表现在图象上为在定义域范围内与x轴垂直的直线与图象有且只有1个交点，由此可知，选D. 答案：D 2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝_________. 解：由f(x)＝ax3－2x可得f(－1)＝－a＋2＝4，

所以a＝－2. 答案：-2 3．下列函数中，f(x)与g(x)表示同一函数是(

) A．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1

B．f(x)＝x，g(x)＝x2

C．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2

D．f(x)＝|x|，g(x)＝x2

解：A的定义域不同，B的值域不同，C的对应法则不同，只有D的定义域、值域、对应法则都相同. 答案：D 1－x，x≥0，4．(2015·陕西卷)设f(x)＝x则f[f(－2)]＝(

)

2，x<0，113A.－1

B. C.

D.

4221－解：因为－2＜0,所以f(－2)＝22＝＞0, 41所以f()＝1－

4111＝1－＝.

422

答案：C 5．(2016·湖北荆门调研)设f：x→x2是集合M到集合N的映射,若N＝{1,2},则M不可能是(

)

A.{－1}

B.{－2,2}

C.{1,2,2}

D.{－2,－1,1,2}

解：由映射的定义知,集合M中的每一个元素在集合N中必须有唯一确定的元素与它对应,选项C中,22＝4∉N,故选C.

答案：C 四、高考频点

考点一·求函数的定义域

1【例1】(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是(

) 1－xA．(－∞，－1)

B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，＋∞) 1＋xx1(2)设函数f(x)＝ln，则函数g(x)＝f()＋f()的定义域为____________．

2x1－x1－x≠0，解：(1)要使f(x)有意义，则

x＋1>0，

解得x>－1且x≠1. 故函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．

1＋x1＋x(2)要使f(x)＝ln有意义，则>0，

1－x1－x所以－1

2x

1－1

所以x∈(－2，－1)∪(1,2)．

答案：(1)C

(2)(－2，－1)∪(1,2) 【变式探究】

1．(1)(2015·重庆卷)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是(

) A．[－3,1]

B．(－3,1) C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)(2016·黑龙江哈师大附中模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1,2],则函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域是(

)

A.[－1,1]

B.[－2,2] C.[－1,2]

D.(－2,1] 考点二·求函数的解析式

【例2】(1)(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1,已知a≠0,且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2,x∈R,则实数a＝________,b＝________.

1x＋13 (2)已知f(＋1)＝2＋，则f(x)=___________ 2xxx

解：

(1)先利用函数解析式将f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2的左边表示出来,再化简右边,然后利用多项式相等的条件求解即可.

因为f(x)＝x3＋3x2＋1,则f(a)＝a3＋3a2＋1, 所以f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)

＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b

＝x3＋3x2－a3－3a2.

2a＋b＝－3，2由此可得a＋2ab＝0，a3＋3a2＝a2b.

①②③

因为a≠0,所以由②得a＝－2b, 代入①式得b＝1,a＝－2.

11(2)令t＝＋1，则x＝(t≠1)，于是

xt－112＋1t－13f(t)＝＋＝1＋(t－1)2＋3(t－1) 121t－1t－1＝t2＋t－1(t≠1)．

所以f(x)＝x2＋x－1(x≠1)．

答案：(1)－2

1

(2)x2＋x－1(x≠1) 点评：求函数解析式的常用方法：

(1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

【变式探究】

2.

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x＋1)＝

.

(2)已知函数f(x)是一次函数，且f(8)＝15，f(14)，f(5)，f(2)成等比数列，则f(x)＝

.

2解：(1)设u＝x＋1≥1，则x＝(u－1)，

所以f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1，

所以f(x)＝x2－1(x≥1)，

所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x(x≥0)．

(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

由f(8)＝15，得8a＋b＝15，①

又f(14)，f(5)，f(2)成等比数列，

所以[f(5)]2＝f(2)·f(14)，

得(5a＋b)2＝(14a＋b)(2a＋b)⇒3a2＋6ab＝0. 因为a≠0，所以a＝－2b，②

由①②得a＝2，b＝－1，所以f(x)＝2x－1. 考点三·分段函数

【例3】

(2015·新课标卷Ⅰ)已知函数

x12－2，

x≤1，f(x)＝且f(a)＝－3，

－logx＋1，

x>1，2－

则f(6－a)＝(

) 75A．－

B．－

4431C．－

D．－

44解：因为x≤1时，f(x)＝2x1－2>－2，

所以由f(a)＝－3知a>1，

所以－log2(a＋1)＝－3，所以a＋1＝8，所以a＝7. －7－所以f(6－a)＝f(－1)＝22－2＝－. 4答案：A 点评：(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．

(2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式，自变量的值不确定时，要分类讨论．

【变式探究】

e，x<1，3．(2014·新课标卷Ⅰ)设函数f(x)＝1则使得f(x)≤2成立的x的取值范围x，

x≥1，3x－1

是____________.

－解：当x<1时，x－1<0，ex1

所以当x<1时满足f(x)≤2. 当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，所以1≤x≤8. 综上可知，x∈(－∞，8]．

13三、课时小结

1．函数的定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，都必须在定义域上进行，求函数的定义域，主要要掌握以下两种类型：

(1)由解析式给出的函数，根据其定义域求出使函数有意义的自变量的取值范围．其主要依据是：

①分式的分母不为0；

②偶次方根的被开方数不小于0；

③对数的真数大于0；

④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1. (2)复合函数f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为D，则满足g(x)∈D的x的集合是f[g(x)]的定义域．

2．求函数的解析式主要掌握如下两种方法：

(1)给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．

(2)换元法求解析式，已知f[h(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元求解．但用换元法时，要注意新元的范围．

3．分段函数问题要分段求解．如求分段函数f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系，当不能确定时，要注意分类讨论．

六、课后练习

A级

1.函数y＝x·ln(1－x)的定义域为(B)

A.(0,1)

B.[0,1)

C.(0,1]

D.[0,1] x≥0，解：由解得0≤x<1.

1－x>0，

x－x，

x≤1，2.(2016·广州市综合测试(一))已知函数f(x)＝1

则f[f(－2)]的值为，

x>1，1－x(C)

11A.

B.

2511C.－

D.－

522

解：因为f(－2)＝(－2)2－(－2)＝6, 11所以f[f(－2)]＝f(6)＝＝－.

51－6f2x3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)＝的定义域是(B)

x－1A. [0,1]

B.[0,1)

C. [0,1)∪(1,4]

D.(0,1)

0≤2x≤2，解：因为f(x)的定义域为[0,2],所以解得0≤x<1.

x－1≠0，

4.(2016·河北衡水模拟(三)) 设函数f(x)＝2x＋3,g(x＋2)＝f(x) ,则g(x)的解析式为(C)

A.3x－1

B.3x＋1

C.2x－1

D.2x＋1

解：

g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3,即g(x＋2)＝2x＋3, 令x＋2＝t,所以x＝t－2, 所以2x＋3＝2(t－2)＋3＝2t－1, 所以g(x)＝2x－1.

5.已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如下图所示,

x＋1，

－1≤x≤0，则函数f(x)的解析式为f(x)＝

1

.

－x，

0＜x≤22解：由图可知,图象是由两条直线的一段构成,故可采用待定系数法求出其表示式.

当－1≤x≤0时,设y＝k1x＋b1,将(－1,0),(0,1)代入得k1＝1,b1＝1,所以y＝x＋1, 11当0

22x＋1，

－1≤x≤0，所以f(x)＝1

－x，

0＜x≤2.2

x＋2，

x≥0，6.已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为

[－2,2]

.

－x＋2，

x＜0，解：原不等式同解于：

x≥0，x<0，(ⅰ)或(ⅱ)

22x＋2≥x，－x＋2≥x，

解(ⅰ)得0≤x≤2,解(ⅱ)得－2≤x<0.

故所求不等式的解集为[－2,2]. 7.已知f(x)＝x，

－1

x≥2.2x＋2，

x≤－1，

(1)求f(3),f[f(－2)],f(a)(a>0)的值；

(2)画出f(x)的图象,并求出满足条件f(x)>3的x的值.

解：(1)因为3>2,所以f(3)＝－2×3＋8＝2.

因为－2<－1,所以f(－2)＝2－2.

又－1<2－2<2, 所以f[f(－2)]＝f(2－2)＝(2－2)2＝6－42.

又a>0,当0

当a≥2时,f(a)＝－2a＋8.

2a，

0

－2a＋8，

a≥2.

(2)f(x)的图象如图所示.

当x≤－1时,f(x)＝x＋2≤1,此时无解；

当－1

5当x≥2时,由－2x＋8＝3,解得x＝.

25由图知,不等式f(x)>3的解为(3,).

2B级

b，a≥b，48.定义一种新运算：a⊗b＝已知函数f(x)＝(1＋)⊗log2x,则f(1)＝(A)

xa，a

A.0

B.1

C.4

D.5

4解：因为1＋>log21,所以f(1)＝log21＝0.

1119.若f(x)满足关系式f(x)＋2f(－x)＝x2＋x＋1,则f(x)＝

x2－x＋

.

33解：将－x代替x,可得f(－x)＋2f(x)＝x2－x＋1,①

又f(x)＋2f(－x)＝x2＋x＋1,②

11由①②解得f(x)＝x2－x＋.

3310.函数f(x)＝1－a2x2＋31－ax＋6.

(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的定义域为[－2,1],求实数a的值.

解：(1)因为对于x∈R,(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0恒成立, 所以①当a＝1时,原不等式变为6≥0,此时x∈R.

②当a＝－1时,原不等式变为6x＋6≥0,此时x∉R.

21－a>0，③若a≠±1时,则

Δ≤0，21－a>0，5所以解得－≤a<1, 221191－a－41－a×6≤0，

5所以实数a的取值范围为[－,1]. 11(2)因为f(x)的定义域为[－2,1], 所以不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2,1], 所以x＝－2,x＝1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两根, －31－a－2＋1＝，1－a所以6－2×1＝，1－a221－a<0，2

解得a＝2.