信息技术应用 收集数据并建立函数模型名师课堂实录

信息技术应用 搜集数据并建立函数模型教学设计

重庆市大足田家炳中学校

吴传平 一、

教学内容解析

1、本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2. 函数模型的应用实例.（第一课时），属于“事实性知识”。

2、“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽。

本节课是上一节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展，同时又为今后的选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺垫。

它要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识。

3、本小节重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题. （2）初步形成用函数观点处理问题的意识. 二、

教学目标设置

1、知识与技能：

（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器. （2）能拟合函数解决实际问题. 2、过程与方法：

（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法. （2）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数方程、待定系数等数学思想方法. （3）通过转化实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力. 3、情感、态度与价值观：

（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度. （2）通过整个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分组讨论、合作交流获得成功带来的快乐. 三、

学生学情分析

1、学生具备的认知基础：①已掌握一些基本初等函数相关知识②初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程③初步掌握了图形计算器和温度传感器的使用方法. 2、有待提高的实际能力：①数形转化的意识有待加强.

②从实际问题中抽象出数学问题的能力有待加强. 3、教学难点:

①数据拟合②选择模型③求解模型.

4、突破难点策略：借助图形计算器强大的拟合和解方程功能有效的进行了突破.

对例1学生可能遇到的困难是：①不理解数据表格中销售单价与日均销售量的函数关系；②不会用销售单价x表示日均销售量和日均销售利润；③不能准确写出函数的定义域.④书写不规范.不说明x的含义. 面对这些困难我将采取学生讨论、相互评价和老师点评相结合的方式解决。

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

对例2学生可能遇到的困难是：①不知如何寻找温度与时间的函数关系. ②图形计算器的使用不熟练. ③不能恰当的选择函数模型④在选择模型遇到挫折时容易灰心，产生放弃的念头. ④用指数模型时只从数学角度考虑却很难想到水温不可能降到室温以下，指数型函数图像的渐近线不是x轴.⑤当图形计算器没有所需要的函数模型时不会转化.面对这些困难我将采取如下策略：①独立思考②小组讨论③互帮互学④及时鼓励⑤合作交流⑥成果展示⑦启发诱导等方式进行。

四、教学策略分析

在设定教学目标后基于对教学内容和学生情况的分析，为解决问题采用了如下教学策略。

1、教学理念：

①倡导积极主动、勇于探索、不怕挫折的学习精神和合作探究的学习方式

②营造一个生动和谐充满人文关怀的教学氛围

③追求信息技术与数学课程有机整合的高效课堂

2、教学方法设计

任务驱动教学法（自主探究、合作交流、分享评价）

（1）从教与学的现实出发，为了使得使得数学建模的开放性更大些，探究性更强些，设计了学生自主提出问题、试验探究、分析数据、建立解决问题的基本模型的方案.本节课的教学分两个阶段：第一阶段，是学生自己提出课题在老师的建议下实验采集数据；第二阶段是这45分钟的课堂教学.“课标”要求我们教师对待教材，不单单是课程的消费者和执行者，而应该是课程的策划者和设计者，是“用”教材，而不是“教”教材.我对教材例题进行了精心改造，把例1中原来的泛指桶装水变成了具体的淮北一中对面的农夫山泉桶装水，把例2中原来的身高与体重问题改成了水温下降问题，使得教学内容更加贴近学生，更显真实。

（2）根据教学内容的特点和对学生情况分析，从学生原有的知识基础和实际能力出发，以任务驱动、问题引导为主线，以学生探究为载体，利用主动观察、思考、动手操作、小组合作、分享评价等形式来组织教学，努力营造一个合作学习、共同探究、展示成果、愉悦学习的舞台。

（3）在教学过程中对基础较弱的同学进行指导，并请组内同学给予帮助指导。经历了整个建模过程后，给学生当堂练习的机会，及时反馈评价。并留下新的问题课后探究，让学生带着问题走进课堂，带着新的问题离开课堂。同时又给学有余力的学生提供继续学***台（网络资源链接）。

五、教学技术支持

1、利用温度传感器进行“数学实验”

2、利用图形计算器进行“合作探究”

3、利用实物展台进行“成果展示”

2

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

六、教学过程描述

教学环节

教学内容

上节课我们学习了应用已知函数模型解决问题。面对没有给出模型或无法建立确定模型的问题该如何求解呢？

本节课让我们继续研究——函数模型的应用实例

师生互动

1、师生共同回忆上节课学习的实际问题的特点。2、教师提出问题，上节课学习了给出函数模型来解决实际问题，然而实际生活中还有许多问题没有给出函数模型，又无法建立确定性的函数模型，我们又该如何解决实际问题？

3、教师点题，板书课题

设计意图

以旧引新，承上启下；创设情境，激发兴趣，产生悬念，使学生积极思考，激发主动探究的欲望！并点明主题。

温

故

知

新

导

入

新

课

3

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

教学环节

教学内容

【例1】淮北一中附近的农夫山泉桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是13元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

师生互动

教师提出如下问题：

①观察表格数据思考销售单价与日均销售量之间有何关系？

②销售利润有哪些因素决定？如何计算？

③根据分析独立写出本题的解答。

学生在讨论的基础上独立解答，再用实物投影仪展示两位学生的解题作品.针对学生的解题过程进行评价，给出肯定解答的规范，书写的工整；或指出缺点如书写的潦草，答题的不规范，定义域漏掉等等，强调从高一开始要养成良好的解题习惯。

设计意图

巧

设

情

境

提

出

问

题

①复习上节课的解决实际问题的过程和方法，以及书写的销 售

14 15 16 17 18 19 20 规范要求。

单价/元

②培养学生阅日

均

销 480 440 400 360 320 280 240 售量/ 桶

读理解、抽象概请根据以上数据作出分析，怎样定价才能获得最括、数据分析、大利润？

语言转换等数

学能力

③让学生体验

解决实际问题

的过程和方法，

预设解法一：设每桶水定价为x培养分析概括

元时，日均销售利润为y元.

能力。

因为销售单价每增加1元，日均销售

④培养学生优量就减少40桶，则

日均销售量＝480－40(x－14)＝1040秀的解题习惯－40x(桶). 和反思解题过由于x＞13且1040－40x＞0，

程的习惯。

即13＜x＜26，

所以y＝(1040－40x)(x－13)－200＝⑤通过本例的－40x＋1560x－13720， 教学，使学生感2=-40(x-19.5)+1490 (13＜x＜26) 知提取数表信易知，当x＝19.5时，y有最大值. 故抽象函数关将销售单价定为19.5元，就可获得最息、大的利润. 系的思维过程，预设解法二：设每桶水在进价基领悟建立函数础上增加x元后，日均销售利润为y 模型解决最值元. 因为销售单价每增加1元，日均销售问题的基本方量就减少40桶，则日均销售量＝480法，渗透化归转－40(x－1)＝520－40x(桶). 由于x＞0且520－40x＞0，即0＜x＜换的数学思想. 213，

2所以y＝(520－40x)x－200＝－40x＋520x－200，0＜x＜13. 易知，当x＝6.5时，y有最大值. 故将销售单价定为19.5元，就可获得最大的利润.

4

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

教学环节

教学内容

【问题背景】第三数学学习小组组长马雨晴看到《淮北日报》上的医学专家提醒：人们日常饮用水时既不能喝生水，也不能喝过烫的水。生水含有大量的寄生虫，过烫的水不仅会损伤牙釉质，还会强烈刺激咽喉、消化道和胃的粘膜，长期饮用热水会导致各种器官起变化。

00因此推荐：饮用的最佳水温为 18C—45C。

【问题提出】

在室温下，一杯烧开的水从初始温度开始，大约经过多长时间可以冷却到450c？

【数学实验】

马雨晴带领小组成员在化学实验室，室温为29.20C的条件下，利用温度传感器采集了1—12分钟范围内的水温数据，具体过程见视频。采集的数据如下：90.6,89,87.3,85.8,84.5,83.2, 81.9,80.7,79.6,78.5,77.5,76.5. 【例2】1～12分钟之间每隔1分钟采集一次水的温度（单位0C），数据分别如下：

时

间1 min

温

度

090.6 c

时

间7 min

温

度

081.9 c

2 3 4 5 6 师生互动

1、整个实验数据的采集过程请马雨晴给同学们作简要介绍。

（马雨晴上台介绍具体做法和遇到的困惑）

2、【问1】仔细观察这组数据，在观察过程中你能发现什么？

（学生回答）

3、【问2】你又能想到什么？

（学生回答.预设回答1：温度与时间之间存在某种函数关系。预设回答2：温度与时间之间有某种联系）

【对预设回答1的提问】是函数关系吗？为什么？谁是谁的函数？

（学生回答）

【对预设回答2的提问】

每一个时刻对应几个温度？这种关系，我们该怎么称呼呢？

4、【问3】我们能否用确定的函数模型来刻画他们的关系？

（学生回答）

（为了研究规律，我们能否用学过的函数模型近似的刻画他们之间的关系呢？这在数学上称为函数的拟合。）

5【问4】我们有没有更加直观的方法帮助我们选择熟悉的函数模型呢？

（学生回答）

设计意图

培养学生动手操作的能力和交流表达的能力以及将数据转化为图表的能力。

组织学生讨论解决问题的方案，培养其合作精神和团队意识，以及用数学语言交流的能力。

在学生的最近发展区寻找突破口，通过问题串启发诱导，利用所学知识，信息迁移，解决新的问题。并在解决过程中渗透数形结合的思想。

实

验

探

究

呈

现

任

务

89.0 87.3 85.8 84.5 83.2 8 9 10 11 12 80.7 79.6 78.5 77.5 76.5

请根据以上数据预测，经过多长时间水温可以冷却到450C？

【步骤1】收集数据

（见上表）

5

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

教学环节

教学内容

【步骤2】画散点图

师生互动

1、

师生共同利用图形计算器画出散点图. 2【问1】观察散点分布特点，与学过的常见函数图像对比，说明应该选择怎样的函数模型？

（学生各自交流看法）

3、师生合作挨个求解模型并验证。

（1）【问2】先从直线开始尝试，思考：如何求出直线方程？

（学生回答）

（2）【问3】为了减少误差，我们想选择一条离点最近的直线，又该如何解决？

（学生回答）

教师带着学生一起用图形计算器的拟合功能，求出直线方程。（师生合作）

（介绍这个原理将在选修中学习）

以4人为一组，组内自由分工合作，分别选择二次型和指数型拟合。（生生合作）

（在大家做好好，请一小组上台演示）

5、每组4位同学把图形计算器拟合出的指数型和二次型函数图形放一起，并与黑板上的直线型比较，看一下哪种拟合的效果更好？（学生讨论，生生合作）

设计意图

引导学生利用图形计算器，小组合作，主动探索索、不断交流尝试，比较可能的函数模型优劣，进而选择初步最佳的函数模型，在实际问题的检验中不断修正，最终确定函数模型。在整个探索过程中充分感受函数拟合的思想，并总结出函数建模的基本步骤。体验解决问题带来的喜悦。①培养学生团结合作的精神②体验到图形计算器给研究数学带来的便捷。

合

作

【步骤3】分别求解可能的函数模型

交

流

探

究

新

知

【步骤4】比较各模型拟合的优劣，初步确定函数模型。

结果：经过比较初步确定选用二次函数模型

y=ax2 +bx+c 来拟合, 其中a=0.0343906,b=-1.7194555,c=92.2386363

6

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

教学环节

教学内容

【步骤5】在实际问题中检验模型。

【问题】一杯烧开的水从初始温度（92.90C）开始，经过多长时间水温可以降到45 0C？

【步骤6】返回重新选择模型，最终确定。

结果：最终一致选择y=aebx +c

其中a=62.4374282，b=-0.0,236356，c=29.2

【步骤7】利用选择好的模型解决实际问题。

求解方程aebx=45-29.2，解得x≈59 结论：水温从初始温度降到45摄氏度大约需要59分钟。

【总结】自己建立模型解决实际问题的基本过程：

收集数据

画散点图

师生互动

4、利用图形计算器的解方程功能，求y=45时对应的x值.结果发现方程无实数根. 师生共同讨论，发现二次函数最小值远比45大，故不可能有实数解。不得不重新选择，绝大多数比较后选择y=aebx进行拟合。

教师提问：是否都同意这个看法？激发学生思考。预设1：学生发现问题，并提出方案。让其说明理由并上台演示。预设2：学生没有发现。教师可通过问题串启发：水温可以降到室温以下吗？渐近线可以是x轴吗？应该是什么？应该如何改进？让学生自己提出：y=aebx +c这个模型。再让学生操作。求出了a=62.4374282，b=-0.0,236356，c=29.2 5、学生利用图形计算器的解方程功能求解实际问题. 6、解题反思

【问】反思整个解题过程，我们分别用一次型、指数型、二次型进行了拟合。至于有人提出对数型，到底行不行大家课后思考下节课告诉大家答案。还有困惑吗？

【预设】学生可能提出分段函数拟合【预设回答】想法非常好！不过使用分段函数要想拟合的更好就得搜集大量数据，我想请大家回去后仍然以4人为小组做实验多搜集些数据，进行拟合，下节课上台展示。

【师】谁能给大家总结一下函数拟合解决实际问题的基本过程。

【生】口述

设计意图

通过学生主动参与问题解决的过程，在不断反思中提出新的问题，又解决了新出现的问题，激发学生的创新精神和实践能力。

培养学生对问题进行反思总结的习惯，并渗透算法思想。

合

作

交

流

探

究

新

知

选择函数模型

No

求函数模型

用函数

Yes 检验

释实际

问

题

模型解

7

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

教学环节

教学内容

某地区今年1月、2月、3月，患某种传染病的人数分别为52,61,68，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型

yax2bxc乙选择了模型

ypqx师生互动

设计意图

实

践

应

用

感

悟

新

知

（其中y是患病人数，x为月份数。a,b,c,p,q都是常数)，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？

学生利用图形计算器

独立完成，

上台展示

让学生通过刚才学得得解决问题的方法，来独立处理这个他们感兴趣的话题，极大地增强了挑战的欲望，和探索的激情，并极大地提高了他们的自信心，充分的感受到问题解决所带来的成功的喜悦。

交

流

评

价

分

享

成

功

【师】这节课你学到了什么？印象最深的是什么？还有一些什么想法？

教师总结：数学来源于生活，又服务于生活。我学生总结

们不但要在生活中学习，更要在学习中生活。让我们一起共勉：“Try it again and again , until you succeed!”

启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程. 培养学生归纳总结的能力，和用数学语言交流的能力

8

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

学

以

致

用

课

后

延

伸

提

供

资

源

为

您

服

务

1、必做作业：P106练习第2题、

P107A组—1、2 作业是学生信2、选做作业：P107B组—1 能在3、研究课题：英国物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温下温度变化的冷却息的反馈，作业中发现和模型。若物体的初始温度是

1，环境温度是0

，则经过时间t后物体的温度

将满足





0



(





e

，其中k为正的常数。请设计一个方案，对牛顿弥补教学中的

1

0)不足，同时注重的冷却模型进行验证。然后探究应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

个体差异，因材

施教。让学生带

着问题走进课

堂，再带着问题

离开课堂。

网络资源：

1、构造函数模型,解生活中的实际问题：

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-XXZY200911071.htm 给学生在课外2、函数拟合

：

自主学习提供http://wenku.baidu.com/view/9ecf2eee5ef7ba0d4a733b5b.html

一个舞台，使每kt

个学生都能最大的发展。

板书附后

设计

板书设清楚整洁,便于突出知识目标

（附）板书设计

§3.2搜集数据并建立函数模型

一、函数拟合的基本过程

电脑投影屏幕

9

《搜集数据并建立函数模型》教学设计

（附）重庆市大足田家炳中学校数学建模实验报告

10