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函数的奇偶性

知识讲解

一、函数奇偶性的定义

1.奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数．

2.偶函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做偶函数．

二、奇偶函数的图象特征

1.函数yf(x)是偶函数yf(x)的图象关于y轴对称；

2.函数yf(x)是奇函数yf(x)的图象关于原点对称．

三、判断函数奇偶性的方法

1.定义法：

首先判断其定义域是否关于原点中心对称．

若不对称，则为非奇非偶函数；

若对称，则再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否为恒等式．

定义的等价形式：f(x)f(x)0，2.图象法

3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域DD1奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；

D2上：

f(x)1．

f(x)四、奇偶函数的性质

1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；

2.函数yf(x)是偶函数yf(x)的图象关于y轴对称；

3.函数yf(x)是奇函数yf(x)的图象关于原点对称．

4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．

5.若奇函数yf(x)的定义域包含0，则f(0)0．

五、常见函数的奇偶性

1.正比例函数ykx(k0)是奇函数；

k2.反比例函数y(k0)是奇函数；

xb0)是非奇非偶函数；

3.函数ykxb(k0，4.函数yax2c(a0)是偶函数；

5.常函数yc是偶函数；

k6.对勾函数yx(k0)是奇函数；x

经典例题

一．填空题（共12小题）

1．给定四个函数：①y=x3+

；③y=x3+1；④y=．其

；②y=（x＞0 ）

中是奇函数的有

①④

（填序号）．

【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+

，

）=﹣f（x）则函数f（x）是奇函数；

②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；

③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；

④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==﹣=﹣f

（x），则函数f（x）是奇函数，

故答案为：①④

2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=

﹣x2﹣3x

．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

若x＞0，则﹣x＜0，

∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，

∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），

∴f（x）=﹣x2﹣3x，

故答案为：x2﹣3x，

3．已知（fx）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较

与（f1+a+a2）

的大小关系为

f（1+a+a2）≤f（﹣）

．

2

22【解答】解：根据题意，1+a+a=（+a+a）+=（a+）+≥，

则又由f（x）在[0，+∞）上递减，

则有f（1+a+a2）≤f（），

又由f（x）是R上偶函数，

则有f（1+a+a）≤f（﹣），

2

故答案为：f（1+a+a）≤f（﹣）．

2

4．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求

a的取值范围

（

，

）

．

【解答】解：因为f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．

所以f（a﹣2）＜f（4﹣a2）等价于 ＜

＜

，

＜

＜

＜

＜

＜

化简可得

＜

＜

解可得

＜a＜2．

＜

＜

故答案为（

，

）．

5．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）

＜f（2a2﹣2a+3），则a的取值范围=

（，+∞）

．

2

22

【解答】解：根据题意，2a+a+1=2（a+a+）+=2（a+）+≥，

2

22而2a﹣2a+3=2（a﹣a+）+=2（a﹣）+≥；

由f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f（x）在（0，+∞）上递减．

若f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，即3a﹣2＞0，解

可得a＞，则a的取值范围（，+∞）；

故答案为：（，+∞）．

6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣

a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是

a＜

．

【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，

且f（0）=0，f（x）是奇函数

∴f（x）是R上的增函数．

由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），

于是3﹣a2＞2a﹣a2，

因此，解得a＜．

故答案为：a＜．

7．若（fx）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b=

3

．

【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，

∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．

解得a=2，b=1．

∴a+b=3．

故答案为：3．

8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则++…+=

4022

．

【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）

∴=f（1）=2

∴=2.=2．…=2

∴++…+=2011×2=4022．答案：4022．

9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=

3p+2q

．

【解答】解：由题意可知：

f（6）=f（2）+f（3）=p+q

∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q

∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q

∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q

故答案为：3p+2q．

10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1

（1）求f（1）的值；

（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．

【解答】解：（1）令x1=x2=1，

∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1

∴f（1）=1，

（2）：设令0＜x1＜x2，

∵＞1，当x＞1时，f（x）＞1

∴f（）＞1，

∴f（•x1）=f（x2）=f（）+f（x1）﹣1＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）令x1=x2=4，

∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3

∴f（4）=2，

∴f（3x+1）≤2=f（4），

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；

∴

＞

，

解得

＜x≤1，

故不等式f（3x+1）≤2的解集为（

，1]．

11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）

=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（）+2的解

集是

（0，）

．

【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），

令x=36，y=6，得

f（36）﹣f（6）=f（6）

∴f（36）=2f（6）=2，

∵f（x+3）＜f（）+2，

∴f（x+3）﹣f（）=f（x（x+3））＜2=f（36），

∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，

＞

＜

＞

∴0＜x＜

故不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是（0，），

故答案为：（0，），

12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时（fx）＞0，（f2）=1．解不等式（f2x2﹣1）＜2的解集为

[﹣【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），

设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，

令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），

即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；

令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，

即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），

即有f（x）在R上为增函数；

令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，

，] ．

∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）

∴2x2﹣1＜4，

解得﹣＜x＜

则解集为[﹣，]．

故答案为：[﹣，]．

二．解答题（共6小题）

13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．

【解答】证明：定义域关于原点对称，

令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得

f（0）=0，

令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）是奇函数．

14．判断并证明下列函数的奇偶性．

（Ⅰ）f（x）=|x|+

；

（Ⅱ）f（x）=x2+2x；

（Ⅲ）f（x）=x+．

【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0

f（﹣x）=|﹣x|+=f（x），

故函数为偶函数；

（Ⅱ）函数的定义域为R，

且f（x）=x2+2x的图象为抛物线，

对称轴为x=﹣1，不关于y轴对称，

也不关于原点对称，故函数非奇非偶；

（Ⅲ）可得x≠0，

f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），

故函数为奇函数．

15．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=3，x∈R；

（2）f（x）=5x4﹣4x2+7，x∈[﹣3，3]；

（3）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x+1|；

，

＞

．

（4）f（x）=

，

，

＜

【解答】解：（1）由f（﹣x）=3=f（x），x∈R，

可得函数f（x）为偶函数；

（2）f（﹣x）=5（﹣x）4﹣4（﹣x）2+7

=5x4﹣4x2+7=f（x），x∈[﹣3，3]，

可得函数f（x）为偶函数；

（3）定义域为R，

f（﹣x）=|﹣2x﹣1|﹣|﹣2x+1|

=|2x+1|﹣|2x﹣1|=﹣f（x），

可得f（x）为奇函数；

，

＞

，

（4）f（x）=

，

，

＜

定义域为R，

当x＞0时，﹣x＜0，可得f（﹣x）=（﹣x）2﹣1=x2﹣1=﹣f（x），

当x=0可得f（0）=0；

当x＜0时，﹣x＞0，可得f（﹣x）=1﹣（﹣x）2=1﹣x2=﹣f（x），

即有f（﹣x）=﹣f（x），

可得f（x）为奇函数．

16．判断下列函数的奇偶性

（1）f（x）=a

（a∈R）

（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2

，

＜

（3）f（x）=

．

，

＞

【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；

（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．

（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，

，

＜

在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=

是奇函

，

＞

数．

17．已知函数

是奇函数，且

．

（1）求实数a，b的值；

（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．

【解答】解：（1）函数

是奇函数，且

，

可得f（﹣x）=﹣f（x），

即为=﹣，

可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，

解得b=0；

又

=，

解得a=2；

（2）函数f（x）=在（﹣∞，﹣1]上单调递增；

理由：设x1＜x2≤﹣1，

则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）

=（x1﹣x2）（1﹣），

由x1＜x2≤﹣1，

可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，

即有1﹣＞0，

则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．

18．已知f（x）=．

（1）求f（x）+f（）的值；

（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（）+…+f（）的值．

【解答】解：（1）∵f（x）=．

∴f（x）+f（）=+=+=1，

（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（）+…+f（）=7．