习题1.2ppt课件课堂实录

习题课

函数的概念与性质

学习目标

1.进一步理解函数的概念及其表示方法(重点).2.能够综合应用函数的性质解决相关问题(重点、难点)．

1．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为(

) A．{－2,0,4}

9C．y|y≤－4

B．{－2,0,2,4} D．{y|0≤y≤3} 解析

依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0.所以函数y＝x2－3x的值域为{－2,0,4}．

答案

A 2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(

) 11A．y＝2

B．y＝

xxC．y＝x2

D．y＝x3

1解析

函数y＝与y＝x3都是奇函数，y＝x2在(0，＋∞)上是增函数，故选A．

x答案

A 3．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则(

) A．f(3)＋f(4)>0

C．f(－2)＋f(－5)<0

B．f(－3)＋f(－2)<0 D．f(4)－f(－1)>0 解析

因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)，又f(x)在[－6,0]上单调递减，所以f(－4)>f(－1)，即f(4)－f(－1)>0. 答案

D 4．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x<0，3则f＝________. 2x，0≤x<1，

3111－＋2＝f－＝－4×－2＋2＝1. 解析

f＝f2222答案

1

类型一

求函数的定义域和解析式

1【例1】

(1)函数f(x)＝x＋2＋的定义域为________．

x－122(2)已知fx＋1＝x＋2x－3，则f(x)＝________.

x＋2≥0，解析

(1)由解得x≥－2且x≠1，故f(x)的定义域为{x|x≥－2且x≠1}．

x－1≠0，

224444(2)令t＝＋1(t≠1)，则x＝，所以f(t)＝＋－3，即f(x)＝＋－xt－1t－12t－1x－12x－13(x≠1)．

44答案

(1){x|x≥－2且x≠1}

(2)－3(x≠1) 2＋x－1x－1规律方法

1.求函数的定义域的方法

求已知函数的定义域时要根据函数的解析式构建不等式(组)，然后解不等式(组)可得，同时注意把定义域写成集合的形式．

2．求函数解析式的方法有：

(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消去法．

【训练1】

(1)函数f(x)＝(x－1)0＋2的定义域为________．

x＋1(2)已知f(x)是二次函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，f(2)＝1，f(1)＝3，则f(x)＝________. x－1≠0，解析

(1)由2得x>－1且x≠1，故f(x)的定义域为{x|x>－1且x≠1}．

≥0，x＋1(2)由f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝3，可设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，又f(2)＝a(2－1)2＋3＝1，故a＝－2，所以f(x)＝－2x2＋4x＋1. 答案

(1){x|x>－1且x≠1}

(2)－2x2＋4x＋1 类型二

函数的单调性与最值

ax【例2】

已知f(x)＝2(a≠0)，x∈(－1,1)．

x－1(1)讨论f(x)的单调性；

11－，上的最大值和最小值．

(2)若a＝1，求f(x)在22解

(1)设－1

2x1－1x2－1

2ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2ax2－x1x1x2＋1＝＝，

22x1－1x2x1－1x22－12－1∵－1

2∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x22－1)>0，

∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(－1,1)上是减函数；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

11x－，上是减函数，

(2)当a＝1时，f(x)＝2，由(1)知f(x)在22x－1

1212－＝，最小值为f＝－. 故f(x)的最大值为f2323规律方法

函数单调性的证明及应用

(1)利用定义法证明函数单调性的步骤为：取值、作差或作商、变形、定号、下结论，如本例中若含有字母，则一般需分类讨论．

(2)利用函数单调性求最值的步骤：①确定函数的单调性；②借助最值与单调性的关系写出函数的最值．

a【训练2】

若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范x＋1围是(

) A．(－1,0)∪(0,1)

C．(0,1)

B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1] 解析

由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1. 1∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，

x＋1a∴由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0，

x＋1故0

D 考查方向

类型三

函数性质的综合应用

方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小

【例3－1】

设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________．

解析

因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2)

答案

f(－2)

【例3－2】

设定义在[－3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数，若f(1－m)

解

因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数，

所以f(x)在[－3,3]上是减函数．

1－m>m，所以不等式f(1－m)

1解得－2≤m<. 2规律方法

1.利用函数的奇偶性和单调性比较大小的方法

对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间上，然后再根据单调性判断．

2．利用函数奇偶性和单调性解不等式

解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)

【训练3】

若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是(

) A．增函数且最小值是－1

C．减函数且最大值是－1

B．增函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1 解析

∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是－1. 答案

C

1．利用定义证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④判断．

2．判断函数单调性的常用方法有：定义法、图象法．

3．利用函数的单调性、奇偶性可以解决以下问题：

(1)比较函数值的大小，根据已知条件，利用奇偶性把自变量转化到已知单调性的区间上，再根据函数的单调性比较大小；

(2)解不等式，根据函数的奇偶性转化自变量的范围、然后根据函数的单调性脱掉“f”号，使其转化为具体的不等式后求解．