信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆课堂实录

《椭圆的标准方程》教学设计

【内容分析】教材的地位与作用

《椭圆的标准方程》是继学习必修2圆以后二次曲线的实例。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用

【学情分析】注：对学生的学习基础、认知风格、学习态度进行分析。

【教学目标】

1．知识与技能目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆；

2．过程与方法目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；

3．情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。

本教案的设计着眼点是让学生集体参与、主动参与，让学生动手、动脑，通过观察、猜想、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索。所以，在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度是本节课要达成的情感目标。

【教学重点】确定椭圆的标准方程为本课的难点。

【教学难点】椭圆标准方程的推导

【任务分析】注：对学习结果的类型，学生的起点状态，从起点到达教学目标所需要的中介目标（又称使能目标）及其顺序进行分析。

【教学策略】

学习的过程是一个不断将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程，是认知结构发生重组和改造的过程。本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学生的认知规律。为了突破重点，在教学设计中采用了循序渐进、以问题为主轴，设计问题串的形式，由数到形，由形到数。从不同角度感知椭圆定义。从而引出课题；动手操作“定性”地画出椭圆；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆，

从而使推出方程的过程符合学生的认知规律。

学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当是导致“标准方程的推导”成为教学难点的直接原因。

在本课的教学设计中，主要采用探究式教学方法，即“问题诱导－启发讨论－探索结果”以及“直观观察－归纳抽象－总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。在学习方法上，指导学生：通过利用圆的标准方程的推导过程，从而启发椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示由于椭圆位置的不确定所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导；通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思路的指导；

【教学过程】

（一）创设情境，引入课题

1、复习引入（上节课的课后练习）

已知动点P(x,y)满足方程(x1)2y2(x1)2y24

①判断（2，0)、（-2，0)、（0，1)、（0，-1)是否在此方程表示的曲线上？

②化简此轨迹方程；

能试着画出此动点P(x,y)运动的轨迹吗？

提出问题：

1、式子(x1)2y2的几何意义是什么？

2、满足方程(x1)2y24的动点的几何意义是什么？

3、满足方程(x1)2y2(x1)2y24

动点P（x,y）的几何意义是什么？

【合作交流、得出概念】

探究任务一：椭圆图形的形成

动手实验

实验：

1、把细绳的两个端点分开，用图钉固定在板上的F1、F2两点；用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是么？

（思考：在这一过程中，你说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？）

利用几何画版画出椭圆的图像。

引出课题——椭圆的标准方程．

目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题。

（二）新课讲授

让学生用模型画出椭圆，给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解；培养学生的自信心、成就感．

椭圆的定义：把平面内动点M与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于

）的点的轨迹叫做

. 这两个定点叫做椭圆的

，两焦点的距离叫做

.

探索反思：若将常数记为2a，为什么2aF1F2？（动手实验）

（1）当2aF1F2时，其轨迹为

；

（2）当2aF1F2时，其轨迹为

．

小结：（1）设笔尖（动点）为M，两个定点F1，F2的距离为2c，绳长为2a，

当2a2c时，动点M的轨迹是

；

当2a2c时，动点M的轨迹是

；

当2a2c时，动点M的轨迹是

。

试试：

已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．

探究任务二：椭圆的标准方程

轨迹方程的一般步骤:建、设、限、代、化

（1）观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是

对称图形，又是

对称图形。

（2）怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？

P

推导过程：

F1F2解：以经过椭圆焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。

设M（x,y）是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F1，F2

的坐标分别为F1(-c,0)

和F2(c,0)，又点M与两焦点的距离之和为等于2a。

由椭圆的定义得：MF1MF22a

(xc)2y2(xc)2y22a

(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2(xc)2y22a(xc)2y2

a(xc)2y2a2cx

a2x22a2cxa2c2a2y2a42a2cxc2x2

a2c2x2a2y2a2a2c2x2y22212aac

令b2a2c2，（思考：你能从图中找出a、c、a2c2的线段吗？）可得椭x2y2圆的标准方程为 221abab0

轨迹方程的一般步骤:建、设、限、代、化

（1）建系：让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．（若学生选取的坐标系都一样教师多画几个坐标系，让学生选，其中有中心在原点焦点在y轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么）

目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

（2）设点：设椭圆上任意一点Px,y。（强调任意性）

（3）根据限制条件列式：根据椭圆定义知|PF1||PF2|2a，

（4）代入坐标：xc2y2xc2y22a

（5）化简：虽然化简此式学生会感到有困难，但我先让学生尝试，适当的提示学生：化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？请学生分析后尝试求解焦点在x轴上的椭圆的标准方程。

为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2a2c2，

x2y2 221abab0 请学生归纳焦点在y轴上椭圆的标准方程为：

x2y2212baab0

请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，完成下表

标准方程

x2y221ab0

2abx2y221ab0

2ba不

同

点

图

形

焦点坐标

相

同

点

定 义

a、b、c的关系

F1c0、F2c,0

F10,c、F20,c

平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于

常数（大于F1F2）的点的轨迹

a2b2c2

焦点位置的判断

分母哪个大，焦点就在哪个轴上

强调：①是ab0；

②是a2b2c2（要区别与习惯思维下的勾股定理c2a2b2）；

③注意方程“型”与曲线“形”的对应。

目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法；通过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解。

（三）例题讲解

53例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，(2,0)，并且经过点,，求它的标准22方程

．

培养学生运用知识解决问题能力

例2：已知椭圆的焦点坐标是F14,0，F24,0，椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是10，求椭圆的标准方程。

x2y21。

由学生讨论分析，解决本题，得出椭圆方程259目的：培养学生运用知识解决问题能力

（四）巩固练习：

1、已知椭圆的焦点坐标是F10,1，F20,1，椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是8，求椭圆的标准方程。

y2y21。

由学生自主思考，独立完成，得出椭圆方程1615

x2y2 2、椭圆





1

上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一

10036

个焦点F2的距离是__________

3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴a

4,b1，焦点在x轴上； ⑵a4,c15，焦点在y轴上；

目的：同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，有利于学生思维能力的培养。

（五）课堂小结

⑴椭圆的定义：

⑵椭圆的图形与标准方程

目的：使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，帮助学生从感性认识升华到理性认识,同时培养学生宏观掌握知识的能力；让学生

把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质,使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

（六）课后作业

书本：P49,习题2.2 A组1，2 目的：及时巩固本节课所学的知识，能初步运用知识解决一些关于椭圆标准方程的问题，补充探究题和研究性作业，目的是使本节课的学习研究可以延续到课后，既可以调动学生学习数学的积极性，也可以进一步使学生掌握本节课的知识，通过学生的讨论，既可以培养学生的合作意识，也可以进一步使学生熟悉椭圆定义，为后面学习椭圆的几何性质打下基础。

（七）板书设计

椭圆的标准方程

1．椭圆的定义的符椭圆标准方程的推例1：

号语言

导过程

2．标准方程

例2：

（1）焦点在x轴上

（2）焦点在y轴上

板书设计目的：条理清晰，把本节课的重点、难点写在黑板最突出的地方，便于不断强化学生对本节课知识的掌握。