2.1.2 函数的表示方法教学内容概述

函数的表示方法

明目标、知重点

1.了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.2.掌握简单的分段函数，并能简单应用．

1．函数的三种表示法

(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．

(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．

(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．

2．分段函数

(1)分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数叫做分段函数．

(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．

(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．

[情境导学]

语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？

探究点一

函数的表示方法

思考1

函数有哪几种常用的表示法？它们分别是如何定义的？

答

解析法、图象法、列表法．

(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；

(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

思考2

函数的三种表示方法各有什么优点？

答

(1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值．

(2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质．

(3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值．

例1

购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象

法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出该函数的值域．

解

(1)解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}．

(2)列表法：

x/听

y/元

(3)图象法：

图象由点(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)组成，函数的值域是{2,4,6,8}．

1

2

2

4

3

6

4 8

反思与感悟

本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．

跟踪训练1

某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．

解

这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．

用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3，4,5}．

用列表法可将函数y＝f(x)表示为：

笔记本数x 钱数y 1

5

2

10

3

15

4

20

5 25 用图象法可将函数y＝f(x)表示为下图：

探究点二

换元法求函数的解析式

思考

已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？

答

通常用换元法．即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，即求出了f(x)．

例2

已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)．

解

因为f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)．

反思与感悟

此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”

的表示式，然后以x代替“自变量”，即得所求函数解析式．

跟踪训练2

已知f(x－1)＝3－x，求f(x)的解析式．

解

令x－1＝t，则t≥0，且x＝t2＋1，

所以f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，即f(x)＝2－x2(x≥0)．

探究点三

待定系数法求函数解析式

思考1

若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？

答

若已知函数的类型，可用待定系数法求解．

思考2

用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？

答

由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．

例3

设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．

解

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x＝2对称，

b∴－＝2，即b＝－4a①

2a又图象过点(0,3)，∴c＝3②

由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，

22得x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝10. 即b2－2ac＝10a2③

由①②③解得a＝1，b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3. 反思与感悟

我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果．类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)；f(x)为反比例函数k时，可设f(x)＝(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

跟踪训练3

已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．

解

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0知c＝0. ∴f(x)＝ax2＋bx. 又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1. 即：ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1. 11故2a＋b＝b＋1且a＋b＝1，解得a＝，b＝，

2211∴f(x)＝x2＋x. 22探究点四

分段函数

例4

某市出租汽车收费标准如下：在3 km以内(含3 km)路程按起步价7元收费，超过3 km以外的路程按2.4 元/km收费．试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式．

解

设路程为x km时，收费额为y元，则由题意得：当x≤3时，y＝7；当x>3时，按2.4 元/km所收费用为2.4×(x－3)，那么有y＝7＋2.4×(x－3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为

7，

0

7＋2.4x－3，

x>37，

0

2.4x－0.2，

x>3.

反思与感悟

(1)分段函数的定义：例2、例3中的函数具有共同特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．

(2)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的解析式；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．

跟踪训练4

某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程s(km)表示为时间t(h)(从A地出发是开始)的函数，再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数．

150150解

从A地到B地所需时间为＝2.5(h)，从B地到A地所需时间为＝3(h)，

6050所以，当0

当2.5

当3.5

60t，

0

2.5

3.5

0

2.5

3.5

－x，

x≤0，1．设函数f(x)＝2若f(α)＝4，则实数α＝________. x，

x>0，

答案

－4或2 解析

当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；

当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2. ∴α＝－4或α＝2. 2．如果二次函数f(x)＝(x－a)2＋b的图象关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为________．

答案

f(x)＝(x－1)2－1 解析

由二次函数f(x)＝(x－a)2＋b的图象关于直线x＝1对称，得解析式为y＝(x－1)2＋b；又图象过点(0,0)，则0＝(0－1)2＋b，所以b＝－1，所以解析式为f(x)＝(x－1)2－1. 3．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝__________________________. 答案

2x－1 解析

由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，则x＝t－2，代入g(x＋2)＝2x＋3，

则有g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 所以g(x)＝2x－1. 4．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)的解析式．

解

设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b

＝k2x＋kb＋b＝4x－1，

2k＝4k＝2则有⇒

kb＋b＝－12b＋b＝－1

k＝－2或⇒1－2b＋b＝－1b＝－

k＝23

k＝－2，或

b＝1.

1∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. 3[呈重点、现规律]

1．求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．

2．求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼凑法、换元法、待定系数法、消元法、特殊值法等，要根据题目特点选用不同的方法求解．

3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．