2.2.2 函数的奇偶性名师课堂实录

导数与函数的综合问题

题型一

用导数解决与不等式有关的问题

命题点1

解不等式

xf′x－fx例1

设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不x2等式x2f(x)>0的解集是_________．

答案

(－∞，－2)∪(0,2) 解析

x>0时fxfx′<0，∴φ(x)＝为减函数，

xx又φ(2)＝0，∴当且仅当00，

此时x2f(x)>0. 又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．

故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．

命题点2

不等式恒成立问题

a练习

已知函数f(x)＝ln x－. x若f(x)

a解

∵f(x)

x又x>0，∴a>xln x－x3，

令g(x)＝xln x－x3，则h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，

1－6x21h′(x)＝－6x＝，

xx∵当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，

∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，

∴h(x)

∴当a≥－1时，f(x)

课堂小结

(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；

(2)证明不等式f(x)

(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直

接把问题转化为函数的最值问题．

课后作业

1.

设a∈R，已知函数f(x)＝ax3－3x2. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x∈[1,3]，有f(x)＋f′(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．

解

(1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2，

则f′(x)＝3x2－6x. 由f′(x)>0，得x<0或x>2；由f′(x)<0，得0

3x2＋6x3x＋6(2)依题意，对∀x∈[1,3]，ax－3x＋3ax－6x≤0恒成立，等价于不等式a≤3＝x＋3x2x2＋3x322对x∈[1,3]恒成立．

3x＋6令h(x)＝2，x∈[1,3]，

x＋3x3x2＋4x＋63[x＋22＋2]则h′(x)＝－＝－<0，

x2＋3x2x2＋3x2所以h(x)在区间[1,3]上是减函数，

5所以h(x)的最小值为h(3)＝. 655－∞，. 所以a≤，即实数a的取值范围为662.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，f′(x)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f1的最小值为________．

f′0解析

∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b>0. Δ＝b－4ac≤0b2由题意知，∴ac≥，∴c>0，

4a>02

∴f1a＋b＋cb＋2ac2b＝≥≥＝2，当且仅当a＝c时“＝”成立．

bbbf′03．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 014)2f(x＋2 014)－4f(－2)>0的解集为________．

解析

由2f(x)＋xf′(x)>x2，

x<0得2xf(x)＋x2f′(x)

所以[x2f(x)]′

则F′(x)<0(x<0)，

即F(x)在(－∞，0)上是减函数，

因为F(x＋2 014)＝(x＋2 014)2f(x＋2 014)，

F(－2)＝4f(－2)，

所以不等式(x＋2 014)2f(x＋2 014)－4f(－2)>0，

即为F(x＋2 014)－F(－2)>0，即F(x＋2 014)>F(－2)，

又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，

所以x＋2 014<－2，所以x<－2 016. 4．若对于任意实数x≥0，函数f(x)＝ex＋ax恒大于零，则实数a的取值范围是________．

解析

∵当x≥0时，f(x)＝ex＋ax>0恒成立．

∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax>0恒成立．

若x>0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，

ex即当x>0时，a>－恒成立．

xexx－ex1－xexex设Q(x)＝－.Q′(x)＝－＝. xx2x2当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，

当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e，

∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．