3.4.1 函数与方程教学设计及说课稿

函数的零点教

案 吴应东

一、教学内容与内容解析

高中数学教材中，零点的概念出现在连续函数的性质——零点存在性命题之中，这个性质又是为后续内容“二分法求方程近似解”服务的，而教材安排二分法这个内容是为反映方程与函数的联系，体现函数的应用。这部分教材内容的核心概念是函数，而零点只是内容中涉及的一个附属于函数的小概念，并不属于教学重点，所以不需加以细致的讨论。

二、教学目标与目标解析

知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系

，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用。

过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用。

情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想. 三、教学问题诊断分析

本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．

1．教学重点：函数零点的定义的理解。

2．教学难点：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性。

四、教学支持条件分析

1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。

2．前期内容准备：在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。

3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。

五、教学过程设计

（一）开门见山，揭示课题

引语：同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗？

（幻灯片展示）函数方程显神通，集合语言奠基功。

一次二次学方法，指对幂中活运用。

数形结合诚美妙，重要性质作沟通。

因果变化多联系，物换星移运不穷。

前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质，初步学习了研究函数的一般方法，进一步体会了这首小诗的寓意，今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。

（板书课题）

教师直接板书函数零点的定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)=0，则x0叫做这个函数的零点。

设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。

（二）逐层深化，发现联系

教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题：

例1：求出下列函数的零点，并能够作出函数的图象。

（1）y= x2- x-6 （2）y=x2-2 x +1 （3）y= x 2+ x +1 解：过程略。

设计意图：

1．对于第（1）小题，学生根据自己对定义的理解，写出零点，有的学生可能会将“函数的零点”误以为是点，让学生在充分暴露问题的基础上，加深对概念的理解。

2．对于第（2）小题，让学生知道二重零点的含义。

3．对于第（3）小题，让学生感受到不是所有的函数都有零点。

问题1：（幻灯片展示）例题中给出的三个函数都是一元二次函数，那么你能总结出对于一般的一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它的零点的情况与什么有关？能否具体解释？

预设答案：与方程的判别式有关。当＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），函数有两个零点x1，x2；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1= x2，相应的二次函数的图象与x轴有一个交点（x1，0），函数有一个二重零点x1；当＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点，函数没有零点．

设计意图：让学生在总结二次函数零点情况的过程中，理清方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标和函数的零点之间的逻辑关系。

问题2：对于一般的函数y= f x)，它与相应的方程f(x)=0的关系又是怎样的呢？

提示：若xf (x)=0的实数根，对于函数y= f (x)，相应的表述都有什么？0是方程

预设答案：xf(x)=0的实数根（x0，0）是函数y= f(x)的图象与x f(x)的零点．轴的交点x0是函数y=0是方程

问题3：通过以上分析，你能总结出求函数零点的一般方法吗？

预设答案：

（1）令y=0，解方程，方程的根就是函数的零点。

（2）作出函数的图象，函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点。

设计意图：让学生从“数”和“形”两个角度理解函数的零点。

问题4：对于二次方程而言，如果方程有解，解方程的方法是什么？

预设答案：因式分解或求根公式。

设计意图：为下一环节作铺垫。

（三）利用方程，研究函数

问题1：在例1的第（1）题中，函数的零点将x轴分成三部分，请考察在函数每个区间内函数值的符号，并完成下面的表格。

（幻灯片展示）

（1）y=x2-x-6 问题2：请仔细观察两个表格，你能发现哪些规律？

预设答案：

（1）零点两侧符号相反，

（2）最右侧区间函数值的符号都为正；

问题3：以上结果的出现是必然还是偶然？请给出理由。

预设答案：

将方程因式分解，在最右侧的区间内的自变量的每个取值使每个因式的符号都为正，因此使得函数值大于0，而每经过一个零点，就使得其中的一个因式改变符号，所以零点左右函数值的符号相反。

问题4：是所有函数零点两侧函数值的符号都相反吗？

预设答案：不是，譬如函数y=x2-2x+1。

我们可以通过以上分析，作出函数y=x3-2x2-x+2图象（草图），当然，要想更加准确地作出函数图象，还要进一步研究函数的其他性质。

设计意图：学生应用函数与方程的联系，通过方程研究函数的性质，做出函数的草图。同时，研究的过程也是在为后面发现零点存在定理作方法上的铺垫。

（四）

探究发现“零点存在定理”

1．探究发现

前面我们通过研究函数的零点可以考察其两侧函数值的符号，那么反之，我们能否通过研究函数值的符号特征来探寻零点呢？

（幻灯片展示）

作出函数的图象，判断下列函数在给定区间上是否存在零点？

（1）y=x+3 [-2,0]和[-4,0] （2）y= x2-x-6 [-4,0]，[1,4],[-4,4]和[-1,1] 根据以上判断，如果一个函数f(x)在区间（a,b）上存在零点，那么该区间端点的函数值的符号可能有哪些情况？

预设答案： f(a) f(b)<0或f(a) f(b)>0 追问1：对于上述的函数，f(x)满足什么条件时，函数在区间(a，b)上一定存在零点？

预设答案：f(a) f(b)<0 追问2：对于任意的函数f(x)，如果在(a，b)上满足f(a) f(b)<0，是否在区间(a，b)上一定存在零点？

预设答案：不是。反例

（作出图象），所以函数的图象在[a,b]上必须是连续不断的

追问3：如果连续函数f(x)满足f(a) f(b)<0，则在区间(a，b)上存在唯一的零点。这种说法对吗？

预设答案：不对。反例y=x3-2x2-x+2。所以应表述为“至少存在一个”。

设计意图：使学生在教师的指导和不断追问下，经历探究和发现的过程，通过不断完善自己的思维过程，体会探究的乐趣。

2．零点存在定理

如果函数y f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b)<0，那么，函数y f (x)在区间(a，b)内至少存在一个零点，即存在ca，bf (c)=0。)，使得∈(== 3．“零点存在定理”的初步应用

例2：已知函数f (x)=x+b在(-1,1)上存在零点,求b的取值范围。

解：由题意：f (-1) f (1)<0,解得b∈(-1,1) 变式1：已知函数f (x)=x2+bx在(-1,1)上存在零点,求b的取值范围。

变式2：已知函数f (x)=x2+2bx+b的两根分别在(-1,0)和(0,1)内，求b的取值范围。

设计意图：让学生初步感受零点存在定理在解题中的应用，通过变式教学使学生的思维得到发散，提高学生的解题能力。

六、目标检测设计

问题：通过本节课的学习，你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获? 设计意图：通过小结，理清思路，归纳总结，更好的掌握知识技能，理解数学思想方法，提高解决问题的经验．

学生活动，教师进行简要的概括和升华。

1．课本P72练习A1、2. 2．思考题：结合例2及其变式1，含有参数b的函数f(x) 在(-1,1)上具有什么性质时，求b的取值范围时的解决方法与例题相同？

设计意图：巩固本节课所学习的内容