3.4.1 函数与方程课件配套优秀公开课教案设计

3.4函数的应用

3.4.1函数与方程

（让学生自己提出问题，自己解决）

2017/10/27扬州市特级教师论坛公开课借班扬州中学高一（15）班

函数的零点

函数是重要的数学概念和方法，利用函数可以解决许多问题：课本着重解决2个问题：

（1）怎样利用函数求一些方程的近似解？

（2）怎样建立函数模型解决实际问题？



教学目标：能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．



为用二分法求方程的近似解做铺垫的．一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lgxx30（lnx3x）的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？（类比思想！可不必大量的练习含字母变量的函数有关零点的复杂问题！）



开场白：同学们，我们前面学习了指数函数、对数函数、幂函数，在初中我们还学过一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，它们是重要的数学知识．为什么要学习这些函数呢？因为利用它们可以帮助我们解决许多问题．

比如，我们知道：

方程

根

对应

函数

2x30

x22x30

lnx3x=0

x3

2x11，x23

yx22x3

y

O

？

ylnx3x

问题转化

y

x0

1 O x A

退一步，能将零点锁定在某一“小区间”内吗？

y2x3

y

O 3

2

图象

x -1 3 x 函数的

零点

x3

2x11，x23

（注意先后呈现！）

指出：一般地，一元一次方程、一元二次方程我们可以用公式求解，但没有公式可用来求方程lnx3x么求呢？

本节课我们就来和大家一起讨论如何利用函数与方程的关系，通过运用函数的有关知识来求出方程的根．



为了将函数与方程更加紧密的联系起来，我们先来定义一个概念，这个概念就是函数的零点．（点题）

一般地，我们把使函数值为0的实数x（即对应方程的实数根）称为函数的零点．从图象上看，就是函数图象与x轴交点的横坐标．（用上例分析）

1 0的根（事实上，绝大多数方程没有求解公式）．那么这些方程的根怎

（投影、板书）

函数yfx的零点就是：

（1）函数yfx值为0时自变量x的值；

（2）方程fx0的实数根；

（3）函数yfx图象与x轴交点的横坐标．

（投影、板书）



问题1（课本例1，证明有零点）求证：二次函数y2x23x7有两个不同的零点．

思路1：从方程角度出发：方法1：0；方法2：用公式求（解）出方程的根（求出零点x365）．

4b02a思路2：从函数图象特征考察：f070，或f120，或af等等，这里因为是二次函数，所以它们等同于0．

变式

二次函数（1）y2x（2）y23x+7有 个零点 （无）

92x23x+有 个零点

（两个相同的8零点，即二重零点）

（一般情况，详见课本P.92表）

（投影、板书）

问题2（课本例2，判断是否有零点）判断函数yx22x1在区间2,3上是否存在零点．

解法1：根据求根公式求出根．

解法2：从函数图象特征考察（画出图形课本P.92）如图，因为f210，f320，而二次函数fxx22x1在区间2,3上的图象是连续不间断的，这表明此函数在区间2,3上一定穿过x轴，即函数在区间2,3上存在零点．

再类似课本“重复”强调一遍：因为函数fx的图象是连续曲线，由于曲线上的点A2,1在x轴下方、B3,2在x轴上方，所以它们之间的哪部分曲线必穿过x轴，即在区间2,3上至少有一点x2，使fx20．……

变 区间2,3为区间1,0？让学生说．

解法1：根据求根公式可得方程x2x10的两个根分别为x112，

2 2

x212．因为122，所以221，1120．因此，函数fxx22x1在区间1,0上存在零点．

解法2：从函数图象特征考察（画出图形课本P.92）如图，因为f120，f010，而二次函数fxx22x1在区间1,0上的图象是连续不间断的，这表明此函数在区间1,0上一定穿过x轴，即函数在区间1,0上存在零点．

再类似课本“重复”强调一遍：因为函数fx的图象是连续曲线，由于曲线上的点C1,2在x轴上方、D0,1在x轴下方，所以它们之间的哪部分曲线必穿过x轴，即在区间1,0上至少有一点x1，使fx10．……

提出问题：你能否通过用数学的眼光观察、用数学的思维思考，能够用数学语言抽象概括出一般性结论呢？（引导学生探究、思考、自己总结得出）

y C(-1, 2) -1 (0,-1)D

O yx2x1

B(3,2) 2y yfx

B a 1 2 3 A(2,-1) x O A b x （投影、板书）



零点存在结论：一般地，若函数yfx在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且fafb0，则函数yfx在区间a,b上有零点．

（即存在ca,b，使得fc0，这个c也是方程fx0的根）

（放例2后让学生画“正面”的符合结论的图象）同学们可以随意画出几个函数的图象，观察图象的变化，体验看看能否得出同样的结论？

（如

yx21，yx3，y2x3，ylnx，y1log1x等）

2巡视，投影．

老师画“反面”的函数图象！让学生思考．

反思：（1）是不是只有一个零点？

（不是，零点个数不确定！（让学生画图试试，老师再画）．但当fx在a,b上单调时有一个）

（2）若fafb0，则函数yfx在区间a,b上一定有零点吗？

3

●

a

y y ●

●

b O ●

x a O °

●

b x （3）若函数fx在区间a,b上有零点，则一定有fafb0吗？

（教材思考：如果x0是二次函数yfx的零点，且mx0n，那么fmn0一定成立吗？）

f

注（指出）：这个结论（有时称之为定理）有这些需要注意的地方（还有需要注意的，只是我们不怎么碰到，也很特殊，这里就不提了），似乎不怎么好！其实这些都不重要，也不是重点．因为我们所研究的大部分函数，或研究相关的问题，其图象都是连续曲线．我们关注的重点是哪些不能用公式求出来的零点它所在的某个小区域（更小的区间），为我们进一步锁定、逼近目标做准备！

y ●

●

O a ●

●

b x （投影、板书）

32问题3（课本例3，结论应用，零点探索）求证：函数fxxx1在区间2,1上存在零点．



思考1：我有个问题，问题3中的区间2,1是怎么知道的？从哪儿来？这很重要．

我们可将问题转化一下，仍然从函数出发去探寻．函数fx的零点就是方程xx10的根，也即xx1的根．记3232y -2

-1

O x gxx3，hxx21，则原函数的零点实质上就是这两个函数图象公共点的横坐标．这是利用函数图象估算出方程的根所在的区间的．

事实上，方程fxgx的根实质上就是两个函数yfx和ygx图象的公共点的横坐标．

3变式 求证：函数fx=lnx3x在区间e,1上有零点．

证明：因为fey x0 A 1 1且函数fx130，f130，e33O x 33e,1e,1上的图象在区间上是不间断的，所以函数在区间fx有零点．

4

思考2 如果是变为“证明：函数fx=lnx3x在区间0,+上有零点”？

分析（探究）：证明的依据只有“零点存在定理”．直接证明有困难，同前，间接的先转化一下，将问题转化为函数ylnx与y3x的图象有公共点，先探索找出一个零点所在的区间再论证．如0,1，11,1，e1,1，e2,1，e2,等，由于f130，22313fln20，fe110，不行，范围太小了．再取，e22332e213fe220，fe310，

因为函数fx的图象在3ee2e221上是连续的曲线，说明函数在区间0，+fxe,上有零点．从而……

2注意1：画图不能代替证明（就是要你论证的）．

30，加上，又注意2：能否根据fey a b x 有

y O a b x 无

由于函数fx在0，+上是单调递增函数（需要证明），故函数有零点？（不可以，如图O 示）

（不告诉你区间）（先转化为两个函数图象交点横坐标所在大致范围（区间），再论证）

承上启下：至于如何进一步探求出方程的根，将在下节课讨论并解决这个问题．



小结：2017年版普通高中数学课程标准给出的数学学科核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等。

本节课让我们感悟到：要学会用数学的眼光去观察（看世界）；用数学的思维去思考；用数学的语言去表达；用数学的知识去解决。

作业：1.课本P.93练习1-5；2.思考（详见《函数的零点》评测练习）．

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