小结与思考优质课一等奖

最短路径问题教学设计

泗阳致远中学 金胜利

一、教学内容

根据八年级学生学习内容以及练习中出现的问题，进行了一个专题复习课。

二、教材分析

《最短路径问题探究》本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”和轴对称的性质基础上，引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。它既是轴对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．对于本节课的内容，苏科版教材没有单独编排，只是随着学生数学学习的不断推进，逐步添加了部分题目来逐步渗透，这也使大部分学生忽视了这一知识点，在学生应用这部分知识解决实际问题时存在一定的难度。基于八年级学生的学习内容和学生的接受程度，本节设计整合了一些以三角形、正方形、圆为背景的最短路径问题，让学生直面数学模型，体会数学的本质，有利于学生系统的学习知识

三．内容解析

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.

本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．

四、目标和目标解析

1.教学目标

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．

2. 教学目标解析

学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．

五、学生学情诊断

八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答：“当点A、B在直线将其转化为“直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难. 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到. 教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点. 六、教学策略分析

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力. 七、教学基本流程

探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知

八、教学过程设计

（一）探索新知

1、建立模型

问题：如图1所示，一位将军从A地出发，到一条笔直的河边地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？

师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线

饮马，然后到军营B

追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？

师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：

（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；

上的点.设C为直线l（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小

［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高

其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题. 2、

解决问题

问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线置时，AC与CB的和最小？

上的一个动点，当点C在的什么位

师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示

如果学生有困难，教师作如下提示：

（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在此受到什么启发呢？

的什么位置时，AC与CB的和最小？由

（2）如图，如何将点B“移”到保持CB与CB´的长度相等？

的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都

B

A

l

学生在老师的启发引导下，完成作图. ［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想. 3、

证明“最短”

问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？

师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程. 证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´. 由轴对称的性质可知：

BC=B´C

BC´.=B´C´

∴AC+BC=AC+B´C=AB´

AC´+BC´=AC´+B´C´

当C´与C不重合时

AB´＜AC´+C´B´

∴AC+BC＜AC´+C´B 当C´与C重合时

AC+BC=AC´+C´B 总之，AC+BC≤AC´+C´B 即AC+BC最短

［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可发现：当C´与C不重合时，

AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，AC+BC=AC´+C´B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力. 4、

小结新知

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？

师生活动：学生回答，并相互补充. ［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备. （二）运用新知

利用这个基本图形，可以解决如下一些问题：

(1)两条直线间的对称(如图①)．

(2)三角形中的对称(如图②)

(3)四边形中的对称(如图①)．

师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.

［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望. （三）提炼新知

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1、本节课研究问题的过程是什么？

2、解决上述问题运用了什么知识？

3、在解决问题的过程运用了什么方法？

4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？

［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.

(4)圆中的对称(如图②)