“HL”教案和学案内容

第4课时

探索三角形全等的条件(4)

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“ HL”(斜边直角边）

预习目标

1．经历工人师傅用角尺平分任意角的过程，掌握用尺规作角平分线、过一点作已知直线的垂线的方法．

2．进一步掌握判定三角形全等的“边边边”条件，感受和体会数学的应用价值．

3．进一步掌握文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．

教材导读

阅读教材P25～P26内容，回答下列问题：

1．利用尺规作已知角的平分线

(1)利用尺规作∠AOB的平分线的一般步骤（如图①）：

①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D；

②分别以点C、D为圆心，大于1CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；

2③作射线OE，则射线OE为∠AOB的_______．

(2)在上述所作图形中，连接EC、ED．

根据作图可知，OC＝_______，_______＝ED，OE＝OE，

∴△_______≌△_______．

∴∠COE_______∠DOE，即OE是∠_______的平分线．

2．利用尺规过已知直线外一点作这条直线的垂线

(1)利用尺规经过直线AB外一点P作AB的垂线的一般步骤（如图②）；

①以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D．

②分别以点C、D为圆心，大于1CD的长为半径作弧，两弧交于点Q．

2

③作直线PQ．_______就是经过直线AB外一点P的AB的垂线．

(2)在上述所作图形中，连接PC、PD、QC、QD，设PQ交AB于点H．

根据画图可知，PC＝_______；_______＝QD，PQ＝PQ，

∴△_______≌△_______(SSS)．

∴∠CPQ_______∠DPQ．

∴∠CPH＝∠DPH．

又∵PC＝_______，PH＝PH，

1

∴△_______≌△_______(SAS)．

∴∠CHP_______∠DHP．

∵∠CHP＋∠DHP＝180°，

∴∠CHP＝90°，即直线PQ是过直线AB外一点P的AB的垂线．

(3)利用尺规经过直线上一点作已知直线的垂线

如图③，经过直线AB上一点P作AB的垂线，可以看成是作平角∠APB的平分线．请同学们自己尝试．

例题精讲

例1

没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线．下面是小兵的画法，他的画法正确吗？请说明理由．

如图，①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OD＝OC；

②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E；

③画射线OE，则射线OE为∠AOB的平分线．

提示：考虑画法中具备的条件能否得到两个三角形全等，如果能

判断出两个三角形全等，那么根据全等三角形的对应角相等，可以得

到画出的射线是角平分线的结论．

解答：小兵的画法是正确的，理由：

点评：在学习了判定三角形全等的条件后，可以用所学过的知识来判断作图是否正确．

例2

如图，AB⊥AC，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE．求证：AD⊥AE．

提示：题目中已直接给出判定三角形全等所需要的条件，可得△ABD≌

△ACE，从而得到∠BAD＝∠CAE，进而得到∠BAC＝∠DAE．根据AB⊥AC，

得到∠BAC＝90°，所以∠DAE＝90°，即AD⊥AE．

2

点评：解决与全等三角形相关的问题时，寻找有公共部分的对应角、对应边常常是解题的突破口．

热身练习

1．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、D，再分别以点C、D为圆心，大于1CD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法2D．SSS 得△OCP≌△ODP的依据是

(

)

A．SAS

B．ASA

C．AAS

2．工人师傅常用角尺平分一个角．方法如下：如图，在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此方法得△MOC≌△NOC的依据是

(

)

A．AAS

B．SAS

C．ASA

D．SSS 3．下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②周长相等的两个等边三角形全等；③有三个角对应相等的两个三角形全等；④有三条边对应相等的两个三角形全等，其中错误的有

(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．如图，已知∠AOB及其邻补角∠BOD．

(1)求作∠AOB及∠BOD的平分线OC、OE．

(2)猜想OC、OE有何特殊的位置关系，并说明理由．

5．架设电线杆时，小明想，如果先剪2组（各2根，且每组长度相等）无弹性的绳索，

3

将长度不等的两根绳索的一端分别重合打结，得到结点C、D，然后将长度相等的两根绳索的另一端也分别重合打结，得到结点A、B，将结点C、D放在架设点两侧的地面上，并使它们到架设点的距离相等（三点在同一直线上），最后将结点A、B分别系在电线杆上，调节电线杆的倾斜度和结点A、B的位置，使绳索充分拉紧（如图）．这样，电线杆便垂直于地面．你认为他想的有道理吗？说明你的理由．

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