习题2.1公开课教学设计模版

个性化学科优化学案

辅导科目

数学

课

题

授课时间

教

学

目

标

就读年级

高二

学生

教师姓名

徐亚

指数函数及其性质

2015年12月10 备课时间

2015年12月12日

1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；

2.掌握指数函数图象：

(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；

(2)掌握底数对指数函数图象的影响；

(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．

3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型

重、难

会绘制指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质。

考

点

要点一、指数函数的概念：

x函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y23，y2，y31等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

xx0时，a恒等于0，①如果a0，则

xx0时,a无意义.x

教学内容

x1xx②如果a0，则对于一些函数，比如y(4)，当xx11,x,时，在实数范围内函数值不存在．

24③如果a1，则y1x1是个常量，就没研究的必要了．

要点二、指数函数的图象及性质：

y=a

图象

①定义域R，值域

（0，+∞）

②a=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点

0x0

a>1时图象

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性质

③a=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数

⑤x<0时，a>1 xx>0时，0

既不是奇函数，也不是偶函数

要点诠释：

（1）当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论。

（2）当0a1时，x,y0；当a1时x,y0。

当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。

当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。

xx④在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，00时，a>1 x1（3）指数函数yax与y的图象关于y轴对称。

a要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

（1）

x

①

ya ②yb ③ycx ④ydx

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0,+∞)时，bxaxdxcx （底大幂大）

x∈(－∞,0)时，bxaxdxcx

（2）特殊函数

xxy2x,y3x,1y()x,21y()x的图像：

3

由底数变化引起指数函数图像变化的规律：在y轴右侧，底大图高；在y轴左侧，底大图低。

要点四、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断

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AA1，或1即可．

BB

可以攻玉—经典题型

类型一、指数函数的概念

例1．函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？

（1）y4x；（2）yx4；（3）y4x；（4）y(4)x；

（5）y(2a1)(ax1且a1)；（6）y4x．

2

类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域. 3x1xx2x1(1)y；(2)y=4-2+1；(3)；(4)ya313x9

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)y2x(3)y

类型三、指数函数的单调性及其应用

例3．讨论函数f(x)

举一反三：

【变式1】求函数y3x

222x1x1(a为大于1的常数) -1 (2)y33-x

2x-1 (4)y1-ax(a0,a1)

13x22x的单调性，并求其值域．

3x2的单调区间及值域.

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【总结升华】由本例可知，研究yaf(x)型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，yaf(x)的单调性与yf(x)的单调性相同；当0＜a＜1时，yaf(x)的单调与yf(x)的单调性相反．

ax1例4．证明函数f(x)x(a1)在定义域上为增函数. a1【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。

【解析】定义域为xR，任取x1

ax11ax21(ax11)(ax21)(ax11)(ax21)

f(x1)f(x2)x1x2x1x2a1a1(a1)(a1)2(ax1ax2) x. x21(a1)(a1)10， ∴(ax11)(ax21)0，

xxxx又a>1， x1

a1a2， ∴

a1a20， ∴ f(x1)

ax1(a1)在定义域上为增函数. 则

f(x)xa1xxxxxx另：a1a2a1(1a21)，

∵a10， a>1且x2-x1>0，

xxxx∴a211，

∴

1a210. ∵a110,a

例5．判断下列各数的大小关系：

xx21-24(1)1.8与1.8； (2)()3,3,() 3312.52.50(3)2，(2.5)，() (4)a2与a3(a0,a1)

2aa+12

【变式1】比较大小：

2.12.3 33-0.3-0.1(1)2与2 (2)3.5与3.2 (3)0.9与1.1 (4)0.9与0.70.30.4 (5)1.50.224,()3,()3. 3311

【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.

类型四、判断函数的奇偶性

例7．判断下列函数的奇偶性：f(x)(【答案】偶函数

【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵(x)定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是(x)定义域除掉0这个

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11)(x) ((x)为奇函数) x212

11112x12x1，则g(x)x元素)，令g(x)x

xx212221221212(2x1)1111111()g(x)

22x12x122x12∴ g(x)为奇函数，

又

∵(x)为奇函数，∴ f(x)为偶函数.

举一反三：

【变式1】判断函数的奇偶性：f(x)

类型五、指数函数的图象问题

例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数yax的图象，而a,xx. 2x12122,3,，2则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

【变式2】为了得到函数y93x5的图象，可以把函数y3x的图象(

) A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

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