小结教学目标设计

第一章单元小结

通过对本章集合知识与函数知识结构的整合，使学生所学的知识系统化、网络化.本课从知识结构的整体出发，通过对集合知识与函数知识的综合运用，培养学生的理性思维能力，优化学生的数学认知结构.通过解决抽象函数、复合函数的有关问题，培养学生的抽象思维能力；利用分析、讨论的课堂教学手段，培养学生的合作、交流意识；结合函数知识解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣，培养他们分析问题、解决问题的能力. 三维目标

一、知识与技能

掌握集合、函数的有关概念，能综合运用集合与函数的基本知识解决问题.对复合函数与抽象函数有新的认识. 二、过程与方程

培养学生分析、探究、思考的能力，进一步培养学生综合运用基本知识解决问题的能力. 三、情感态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣，培养他们合作、交流、创新意识以及分类讨论、抽象理解能力. 教学重点

集合与函数的基本知识，含字母问题的研究，抽象函数的理解. 教学难点

分类讨论的标准、抽象函数的理解. 教具准备

多媒体课件、投影仪. 课时安排

2课时

教学过程

一、知识回顾

（一）第一章知识点

1.集合：①集合的含义；②表示法；③元素与集合的关系. 2.集合间的基本关系：①子集；②真子集；③集合相等. 3.集合的运算：①并集；②交集；③补集. 4.函数：①函数的概念；②三要素：定义域，值域，对应法则；③映射概念. 5.函数的表示：①表示法：解析法，列表法，图象法；②求函数的解析式；③求函数的定义域；④求一些简单函数的值域和最值. 6.函数的单调性：①函数单调性定义；②单调函数的概念；③单调区间；④判断或证明函数单调性的方法；⑤单调性的应用；⑥利用函数的单调性求最值. 7.函数的奇偶性：①奇偶性的概念；②奇偶性的定义域特征；③判断函数奇偶性的步骤；④奇偶性图象特征. 8.函数的应用问题：①解函数应用题的基本方法步骤；②与几何图形有关的应用题的解法；③与物理现象有关的应用题的解法；④与社会生活有关的实际问题的解法. 9.（1）解函数应用题的主要步骤是：①“设”即分析题意设出变量；②“列”即列出关系式，建设函数模型；③“解”即运用函数的性质解出要求的量；④“答”即回到原实际

问题作答. （2）解实际问题的步骤用框图可表示为

（3）当实际问题中的变量较多时，首先寻找所求量（y）与这些变量间的关系式，然后根据实际要求确定一个自变量（x），而其他变量通过题中条件再用x表示出来，用代入法即可得到函数模型y=f（x）. （二）方法总结

1.证明集合相等的方法：A＝B①AB；②AB（两点必须同时具备）. 2.相同函数的判定方法：①定义域相同；②对应法则相同（两点必须同时具备）. 3.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法. 4.函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③实际问题要考虑实际意义等. 5.函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反表示法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法. 6.函数单调性的判定法：①设x1、x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1＜x2；②判定f（x1）与f（x2）的大小；③作差比较或作商比较.（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）

7.函数奇偶性的判断：首先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系. （1）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用函数图象的对称性描绘函数图象. （2）函数的应用举例（实际问题的解法）. a.解决应用问题的一般程序是：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型. ③求模：求解数学模型，得到数学结论. ④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义. b.建模类型：①可化为一、二次函数的应用题的解法；②可化为分段函数的应用题解法. 8.常用函数的研究、总结与推广：

（1）以二次函数为背景的函数问题（包括通过换元可转化为二次函数的问题）. cxdcd（≠）的图象性质. axbab1（3）研究函数y=x+的图象性质并推广. x（2）研究函数y=9.抽象函数（即不给出f（x）解析式，只知道f（x）具备的条件）的研究. （1）若f（a+x）=f（a－x），则f（x）关于直线x=a对称. （2）若对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），可利用赋值法研究抽象函数的性质. 二、讲解新课

典型例题

【例1】

集合A={x|x2－mx－8≥0}，B={x|x2－2mx－n＜0}，问能否找到两个实数m、n，使A∩B={x|4≤x＜5}？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由. 解：假设存在实数m、n满足条件. 由题意可知，4是方程x2－mx－8=0的一根，由韦达定理知方程的另一根为－2. ∴m=4+（－2）=2. ∴B={x|x2－4x－n＜0}，A={x|x≥4或x≤2}. 由题意可知，5是方程x2－4x－n＝0的一根，

5x04,x01,方程x2－4x－n＝0的另一根为x0，则

∴

5xn,n5.0综上，存在实数m=2，n=5满足题意. 方法引导：本题通过集合与一元二次方程结合，给出一类开放性的问题，要求学生自己找出是否存在实数m、n能够满足题意.解题的关键就是能发现一元二次不等式解的特点. 【例2】

设A={x|－2≤x≤a}≠，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}，且CB，求实数a的取值范围. 解：∵A={x|－2≤x≤a}，

∴B={y|y=2x+3，x∈A}={y|－1≤y≤2a+3}. 又C={z|z=x2，x∈A}，且C B，

①当－2≤a≤0时，C={z|z=x2，x∈A}={z|a2≤z≤4}，

a21,1∴得a≥，无解. 22a34,②当0＜a≤2时，C={z|0≤z≤4}，

01,11∴得a≥.∴≤a≤2. 2242a3,③当a＞2时，C={z|0≤z≤a2}，

01,∴2得－1≤a≤3.∴2＜a≤3. a2a3,综上1≤a≤3. 2方法引导：本题是集合与二次函数相结合的问题，通过对a进行分类讨论，利用数轴分析集合间的包含关系来解决. x22xa【例3】

已知函数f（x）=，x∈［1，+∞）. x1（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；

2（2）若对任意x∈［1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围. 11（1）解：当a=时，f（x）=x+

+2. 22x设1≤x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=（x2－x1）（1－1）. 2x1x2

∵2x1x2＞2，0＜11＜，

2x1x22∴1－1＞0.又x2－x1＞0，

2x1x2∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）在区间［1，+∞）上为增函数，则f（x）在区间［1，+∞）上的最小值为f（1）=7. 2x22xa（2）解法一：在区间［1，+∞］上，f（x）=＞0恒成立x2+2x+a＞0恒x成立. 设y=x2+2x+a，x∈［1，+∞)，y=x2+2x+a=（x+1）2+a－1在区间［1，+∞)上递增，

∴当x=1时，ymin=3+a. 于是当且仅当ymin=3+a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3. a解法二：f（x）=x++2，x∈［1，+∞），

x当a≥0时，函数f（x）的值恒为正；

a当a＜0时，y=x+2与y=在［1，+∞)上都是增函数. xa所以f（x）=x++2在［1，+∞）上是增函数. x故当x=1时，ymin=3+a，

于是当且仅当ymin=3+a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3. 方法引导：本题体现了函数思想在解题中的运用，第（1）题用函数单调性求函数的最小值，第（2）题用函数的单调性解决恒成立的问题.在第（2）题的解法一中，还可以这样解：要使x2+2x+a＞0恒成立，只要a＞－x2－2x=－（x+1）2+1恒成立，在［1，+∞）上，由函数单调性得－（x+1）2+1≤－3，所以只要a＞－3. a1【例4】

已知f（x）=－x2+ax－+，x∈［0，1］，求f（x）的最大值g（a），且求42g（a）的最小值. a1a2a2a1a解：∵f（x）=－x+ax－+=－（x－）+－+，对称轴x=，

44224222∵x∈［0，1］，

a≤0，即a≤0时，

2a1f（x）max=f（0）=－+. 42a②当0＜＜1，即0＜a＜2时，

2a2aa1f（x）max=f（）=－+. 4242①当

a≥1，即a≥2时，

213af（x）max=f（1）=－. 24③当a142,2a1a∴g（a）=,4423a142,①当a≤0时，－a0,0a2,

a2.a11+≥. 422a21a1177②当0＜a＜2时，－+＝（a－）2+≥. 4242416163a1③当a≥2时，－≥1. 247∴g（a）min=. 16方法引导：本题是含参数的二次函数最值问题，通过对称轴x=a的移动，对a进行分2类讨论，得到的最大值g（a）是关于a的一个分段函数的形式，注意分段函数的最小值，是每一段最小值的最小值. 【例5】

对于任意非零实数x、y，已知函数y=f（x）（x≠0）满足f（xy）=f（x）+f（y）. （1）求f（1），f（－1）；

（2）判断y=f（x）的奇偶性；

（3）若y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，且满足f（x）+f（x－1）≤0，求x的取2值范围. 解：（1）∵对于任意非零实数x、y，有f（xy）=f（x）+f（y），

取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），

∴f（1）=0. 取x=y=－1，得f（1）=f（－1）+f（－1），∴f（－1）=0. （2）对任意x≠0，取y=－1，则f（－x）=f（x）+f（－1）=f（x）+0，即f（－x）=f（x），∴f（x）是偶函数. （3）∵f（x）+f（x－∴f［x（x－1）≤0，

21）］≤0. 21x|）≤f（1）. 21x|≤1. 2由f（x）是偶函数，得f（|x2－又y=f（x）（x≠0）在（0，+∞）上是增函数，∴0＜|x2－

11x＜0或0＜x2－x≤1. 2211711171解得0＜x＜或≤x＜0或＜x≤. 4422∴－1≤x2－方法引导：本题求抽象函数的单调性与奇偶性，一般常用赋值法，给x、y取一些特殊的值，从而得到一些特殊的函数值，再结合函数的单调性与奇偶性的性质解题. 31，］，求y=f（x）+12f(x)的值域. 82313解：∵f（x）∈［，］，∴2f（x）∈［，1］. 8241∴1－2f（x）∈［0，］. 41∴12f(x)∈［0，］. 211令t=12f(x)，t∈［0，］，则f（x）=（1－t2）. 2211∴y=（1－t2）+t=－（t－1）2+1. 22117由于t∈［0，］，所以≤y≤. 22817故函数y的值域为［，］. 28【例6】

已知f（x）∈［方法引导：本题利用换元法求函数的值域，设出新元以后必须给出新元的范围，对于12f(x)的范围的研究通常由里向外，最后再根据二次函数的性质求值域. 【例7】

如下图，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾斜角为60°.

（1）求横断面积y与底宽x的函数关系式；

（2）已知底宽x∈［aa，］，求横断面面积y的最大值和最小值. 42解：（1）分别过A、B作AE、BF垂直于CD，交CD于点E、F，

∵∠ADC=∠BCD=60°，且AB=x，

ax. 2axax∴DE=CF=·cos60°=，

243(ax)axAE=·sin60°=. 423(ax)311ax∴y=（AB+CD）·AE=（x+x+）·=（a+3x）（a－x）（0＜x416222∴AD=BC=＜a).

3332aaa（x－）2+a，x∈［，］，

121634232a∴当x=时，ymax=a；

123532a当x=时，ymin=

a. 64232532故横断面面积y的最大值为a，最小值为a. 1264方法引导：本题是函数在几何图形方面的应用，运用几何图形的性质求出与面积有关的量（用x表示），根据面积公式列出关系式，这个过程就是建立数学模型，得到的函数是二（2）∵y=－次函数，但定义域不是R，而是实际的底宽［aa，］. 42【例8】

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：

（1）写出如图甲表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出如图乙表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）. （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天）

解：（1）由图甲可得市场售价与时间的函数关系为

300t,f（t）=2t300,0t200,200t300.

由图乙可得种植成本与时间的函数关系为g（t）=1（t－150）2+100，0≤t≤300. 200（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）－g（t），即

h（t）=121175tt,20022127125tt,200220t200,

200t300.当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=－取得区间［0，200］上的最大值100；

1（t－50）2+100，所以，当t=50时，h（t）2001·（t－350）2+100，所以，当t=300时，200当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=－h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5. 综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

方法引导：本题是现实生活中的实际问题，题中两图本来是通过实验分析得到相关数据抽象出来的数学模型，这里让我们通过识图找到相应的函数关系式，然后建立纯收益关于时间的分段函数，利用二次函数和分段函数的知识解决问题. 【例9】

已知f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有f(a)f(b)＞0. ab11）＜f（），求x的取值范围；

2x1（1）判断函数f（x）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论；

（2）若满足f（x+（3）若f（x）≤m2－2am+1，对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围. 解：（1）任取－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2＜0. ∵f(x1)f(x2)f(a)f(b)＞0，∴＞0. xxab12∴f（x1）+f（－x2）＜0. 又∵f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. ∴函数f（x）在［－1，1］上是增函数. （2）∵函数f（x）在［－1，1］上是增函数，

11）＜f（），

2x11x1,211,得

x111x,2x1由f（x+3x,2

x2或x1,3x1或1x.2∴－3≤x＜－1. 2（3）∵f（x）≤m2－2am+1，且对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，

∴m2－2am+1≥f（x）max=f（1），得m2－2am≥0，当a∈［－1，1］时恒成立. 令f（a）=m2－2am，a∈［－1，1］，

2f(1)2mm0,∴

2f(1)2mm0,m2或m0,得

m0或m2.

∴m≥2或m≤－2或m=0. 方法引导：本题是函数的一个综合题，注意对于函数单调性的证明应该用定义法，利用函数的单调性求出自变量之间的关系以及利用最值解决恒成立问题，这是对函数性质的一个综合把握. 三、课堂练习

（2课时的练习）

课本P51复习参考题A组1，2，3，4，5，6，7，8，9. 答案：1.（1）A={－3，3}；（2）B={1，2}；（3）C={1，2}. 2.（1）集合的点组成线段AB的垂直平分线；

（2）集合的点组成以O为圆心，3 cm为半径的圆. 3.三角形的外心. 4.a的值为0，－1，1. 5.A∩B={（0，0）}，A∩C=，（A∩B）∪（B∩C）={（0，0），（6.（1）{x|x≤－2或x≥2}. （2）{x|x≥2}. （3）{x|x≥4且x≠5}. 39，－}. 552；

1aa（2）f（a+1）=－. 2a7.（1）f（a）+1=1(x)21x28.证明：（1）f（－x）===f（x）；

221x1(x)11()21x21x21x（2）f（）===－=－f（x）. 212x21x1x1()x9.（1）图象略. （2）最大高度为1.08 m. 四、课堂小结

1.集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的内容. 2.运用集合与对应的语言进一步描述了函数概念.与初中的函数概念相比较，突出了函数概念的本质：两个数集间的一种确定的对应关系；明确了函数的三要素. 3.函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种. 4.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求.例如：事物的变化趋势、对称性、用料最省、利润最大、效率最高等，就要研究函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶性等. 五、布置作业

（2课时的作业）

课本P52复习参考题A组10，11，12，13，14；B组2，3，4，5，6，7，8. 板书设计

第一章单元复习

方法归类要点

例题及分析过程

课堂小结与布置作业