小结ppt课件教学实录

一元二次方程实根的分布

已知一元二次方程根的分布特征，确定其中的参数取值，是高一数学的一个难点。本专题将侧重解决这一难点。

由于一元二次方程、一元二次不等式与二次函数有着密切的联系：一元二次方程的根是对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式的解集对应于对应的二次函数图象在x轴上方（或下方）部分的点的横坐标集合。因此，一元二次方程根的分布问题，可以充分借助对应的二次函数图象来加以分析并给予解决。

教学目的：

1．熟练掌握二次函数的图象和性质；

2．掌握用韦达定理、根的判别式解决含参数的二次方程的实根分布的基本方法；

3．培养学生运用数形结合、分类讨论、函数与方程以及等价转化等重要的数学思想分析、解决有关二次的问题的能力；；

4．激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新的精神。

教学重点：

1．一元二次函数图象的应用、数形结合数学思想的渗透。

2．用韦达定理解“含参数的二次方程的实根分布”问题的基本方法

一元二次方程是高中数学中极其重要的内容，它与一元二次不等式、二次函数等内容有着直接而密切的联系，讲解一元二次方程不能不涉及其根的分布。

1．“三个二次”的关系：

一元二次方程的根是对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式的解集对应于对应的二次函数图象在x轴上方（或下方）部分的点的横坐标集合

2．根与系数的关系（韦达定理）：

bxx212a

设方程axbxc0（a0）的二个实根为x1、x2，则cx1x2a3．根的判别式b24ac

例题：

当m取什么实数时，方程x2(m3)xm0

分别有： ①两个正根； ②两个负根；

③两个根都小于1； ④两个根都大于21

2例题：

当m取什么实数时，方程x(m3)xm0

分别有：

1

①两个正根； ②两个根都大于1；

2解

：设方程x2(m3)xm0的两实根为x1、x2

方法一：利用根的的判别式、根与系数关系（韦达定理）求解

①若方程x2(m3)xm0有两个正根，则需满足：

b24ac0(m3)24m0bxx03m0m0m1

12am0cx1x20a∴此时m的取值范围是(0,1]；

②学生可能出现的错解：若方程x2(m3)xm0的两个根都大于需满足：

1，则2b24ac0(m3)24m0b1xx13m11mm1

2a14mx1x2c14a4错因：对题意的理解不透，没有正确列出二次方程实根分布的充要条件，而这仅仅是必要条件。由满足此不等式组的x1、x2，不一定能满足方程有两个根都大于

于11，比如x1，x23时，即方程的两个根并不都大231。此时需要引导学生转化为第①小题的形式来解。

21正解：若方程x2(m3)xm0的两个实根都大于，则需满足：

2b24ac0(m3)24m0116m55(x)(x)001mm1

222462m0(x11)(x21)022

2

∴此时m的取值范围是(

5,1]；

6针对训练题：为了使同学们对这种方法的掌握，在原题中加上以下两个问题： ③两个负根； ④两个根都小于1；

解：③若方程x2(m3)xm0有两个负根，则需满足：

b24ac0(m3)24m0bxx03m0mm9

12am0cx1x20a∴此时m的取值范围是[9，+)

④（利用转化思想）若方程x2(m3)xm0的两个根都小于1，则需满足：

b24ac0(m3)24m0(x1)(x1)01m0mm9

12(x1)(x1)02m2021∴此时m的取值范围是[9，+)；

评述：解这类题要充分利用判别式和韦达定理。通过

“三个二次”，即二次函数、二次方程、二次不等式的密切关系，利用二次函数图象来解决这些问题。

方法二：图象法

①若方程x2(m3)xm0有两个正根，则二次函数图象与x轴的交点在y轴的右边，如图所示： y

f

(0

)0

O

x1

x

2

b





0 2 a

x

3

即：

(m3)24m0b3m0m0m122af(0)m0（在点评过程中要突出所得的条件不等式是充要条件）

1，则二次函数图象与x轴的交2②若方程x2(m3)xm0的两个根都大于点在直线x=1的右边，如图所示： 2y

f

( 1) 

0 

2x1

x

2

x

b

x





2 a

O

即：

(m3)24m05b3m1mm12262a16m5f()024③若方程x2(m3)xm0有两个负根，则二次函数图象与x轴的交点在y轴的左边，如图所示： y

x1

b





0 2 a

x

2

O

x

即：

(m3)24m0b3m0mm922a4 f(0)m0

④若方程x2(m3)xm0y的两个根都小于1，则二次函数图象与x轴的

交点在直线x=1的左边，如图所示：

O

x

1 x

2

b

x





2 a

f

( 1 ) 

0 

x1

即：

2(m3)4m0

3m

b1mm92

2a

f(1)2m20

评述：1、在利用图象法解决二次方程实根布分布问题时，应正确画出图象，并列出与之等价的不等式组，即二次方程实根分布的充要条件。

2、将二次函数图象（抛物线）限定在所需位置，从以下四个方面考虑：

①开口方向；②判别式；③对称轴的位置；④特殊点的函数值。

三、课堂训练：

当m取什么实数时，方程x2(m3)xm0

分别有

（1）、一个根大于1，一个根小于1 （2）两个根都在(0,2)内

（3）两个根有且仅有一个在(0,2)内

（4）一个根在(2,0)内，另一个根在(1,3)内

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设计练习时，是希望能让学生见识一下其它情形的一元二次方程的根的分布，拓展视野；同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的；练习难度逐个递增，仅用初中所学知识是不够的，必须把相应问题转化为二次函数问题来解决。也即二次函数的图象与x轴的交点的位置的分布。学生在解决这类问题时，容易出现的错误是思考不周，少考虑了一些必须考虑的因素，特别有区间时，区间的端点常常成为盲点，从而使得到的条件组的条件不足。这是教学时特别要注意的。

提示：

（1）f(1)=2m-2 <0 

mm1 (m3)24m0

3m

02（2）

m2

m123f(0

)m0

f(2)3m20

（3）f(0)f(2)=m(3m-2) <0 

m0

m

（4）

师生共同发现：（由特殊到一般）

23f(2)m100f(0)m

0mf(1)2m2

0f(3)4m0设一元二次方程为ax2bxc0（a0），对应的二次函数为f(x)ax2bxc。分析函数图象：从判别式、对称轴、区间端点对应函数值符号三个方向可以得到如下规律：

1．方程ax2bxc0（a0）无实根

二次函数f(x)ax2bxc图象恒在x轴上方

△0

2. 方程ax2bxc0（a0）两根均小于实常数k

这些交点位于x轴上点（k，二次函数f(x)ax2bxc图象与x轴有交点，

6

0）的左侧

0bk

2af(k)00特别地：方程ax2bxc0（a0）两根均小于0x1x20

xx0123．方程ax2bxc0（a0）两根均大于实常数k

这些交点位于x轴上点（k，二次函数f(x)ax2bxc图象与x轴有交点，0）的右侧

0bk

2af(k)00特别地：方程ax2bxc0（a0）两根均大于0x1x20

xx0124．方程ax2bxc0（a0）两根满足x1kx2

二次函数f(x)ax2bxc图象与x轴有交点，这些交点分别位于x轴上点（k，0）的左、右两侧

f(k)0

特别地：方程ax2bxc0（a0）的两根x10x2

ac0

5．方程ax2bxc0（a0）两根均在区间（m，n）内

0bmn2a

f(m)0f(n)06．方程ax2bxc0（a0）两根有且仅有一根在区间（m，n）内

f(m)f(n)0

7．方程ax2bxc0（a0）两根满足mx1npx2q

7

f(m)0f(n)0

f(p)0f(q)08．方程ax2bxc0（a0）两根满足x1mnx2

f(m)0

f(n)0

当m取什么实数时，方程x2(m3)xm0

分别有

（1）一个正根，一个负根且正根绝对值较大

（2）一个根小于2，一个根大于4 （3）一个根在（-2 ，0）内，另一个根在（0 ，4）内

（4）两根异号且绝对值都小于1 f

(0)m0提示：（1）mm0b3m

02a2

2)3m20f(（2）

f(4)5m40

4mm5f(2)m100（3）

4f(0)m0mm05

f(4)5m40

f(1)040（4）f(0)0m0mm0

f(1)0m1

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