习题2.1教学活动设计方案

课时达标检测（十五）

指数函数及其性质的应用（习题课）

一、选择题

2x，x＜0，1．函数y＝x的图象大致是(

) 2－1，x≥0

解析：选B

当x＜0时，函数的图象是抛物线的一部分，当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B. 1a1b2．已知π＞π，则a，b的大小关系是(

) A．1＞a＞b＞0

C．a＞b

B．a＜b

D．1＞b＞a＞0 1x1解析：选B

∵0＜＜1，∴y＝π在R上单调递减，

π1a1b又∵π＞π，∴a＜b. a，x>1，3．若函数f(x)＝a是R上的增函数，则实数a的取值范围为(

) 4－x＋2，x≤12A．(1，＋∞)

C．(4,8)

B．(1,8) D．[4,8) x

a>1，4－a>0，解析：选D

由题意得24－a·a≥21＋2，解得4≤a＜8.

a，a

) b，a≥b，

A．(0,1]

C．(0，＋∞)

B．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) －－解析：选A

法一：当x>0时，3x>3x，f(x)＝3x，

f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3x＝1；

－当x<0时，3x<3x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．

－综上，f(x)的值域是(0,1]．

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法二：作出f(x)＝3x⊙3－x的图象，如图．

可知值域为(0,1]．

1a1b5．已知实数a，b满足等式2＝3，给出下列五个关系式：①0

) A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

1x1x的图象．当a＝b＝0时，1a＝1b＝1；当a

作y＝与y＝23231a1b1a＝1b.故①②⑤都可能成立，不可能成时，可以使＝；当a>b>0时，也可以使2323立的关系式是③④. 二、填空题

6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1x，则x的取值范围是________．

－17a＋2＋>1，

解析：∵a2＋a＋2＝24∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．

1∴x>1－x，即x>. 21，＋∞

答案：21|x－1|7．已知函数f(x)＝2，则f(x)的单调递增区间是________．

1x解析：法一：由指数函数的性质可知f(x)＝2在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．

又因为y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．

1x－11|x－1|＝2，x≥1，法二：f(x)＝22x－1，x<1.答案：(－∞，1] 1x1x－18．若方程4＋2＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________．

可画出f(x)的图象求其单调递增区间．

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1x解析：令2＝t，

∵方程有正根，∴t∈(0,1)．

方程转化为t2＋2t＋a＝0，

∴a＝1－(t＋1)2. ∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)．

答案：(－3,0) 三、解答题

9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．

解：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，

0f0＝0，a－1＝0，∴即2

f2＝2，a－1＝2，

∴a＝±3. 又∵a>1，∴a＝3. 当0

0f0＝2，a－1＝2，∴即2解得a∈∅，

f2＝0，a－1＝0，综上所述，a＝3. 1x2－2x10．讨论函数f(x)＝的单调性．

3解：∵函数f(x)的定义域是R. 1u令u＝x2－2x，则f(u)＝3

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，

1u又∵f(u)＝3在其定义域内是减函数，

∴函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；

又u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，

1u∵f(u)＝3在其定义域内是减函数，

∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．

9满足f(c2)＝. 811．已知函数f(x)＝(1)求实数c的值；

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2＋1. 8(2)解不等式f(x)＞解：(1)由题意知0＜c＜1，∴c2＜c. 99由f(c2)＝，得c3＋1＝，

881∴c＝. 22x＋1，0＜x＜2，(2)由(1)得f(x)＝12＋1，≤x＜1，2－4x11

1212当0＜x＜时，令f(x)＞＋1，即x＋1＞＋1，

2828解得x＞∴2，

421＜x＜；

42122515－当≤x＜1时，令f(x)＞＋1，即24x＋1＞＋1，解得x＜，∴≤x＜. 288828225∴f(x)＞＋1的解集为x＜x＜884

. 12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)求f(x)；

1x1x(2)若不等式a＋b－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得

6＝ab，a＝2，

3结合a>0且a≠1，解得24＝b·b＝3.a.

∴f(x)＝3·2x. 1x1x(2)要使2＋3≥m在(－∞，1]上恒成立，

1x1x只需保证函数y＝2＋3在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．

1x1x∵函数y＝2＋3在(－∞，1]上为减函数，

1x1x5∴当x＝1时，y＝＋有最小值. 2365∴只需m≤即可．

65－∞，. ∴m的取值范围为6

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