3.4.1 函数与方程课堂实录【1】

函数与方程---函数的零点

【教学目标】

1、了解函数的零点；

2、利用数形结合的思想解决零点问题。

【教学重、难点】

教学重点：函数零点与方程根之间的互相转化。

教学难点：利用数形结合思想解决问题时，画图的注意点。

【教学过程】

函数的零点：一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点。

通过函数零点的概念，可以发现零点问题和哪些问题其实是一样的？

函数yf(x)的零点方程f(x)0实数根函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

例：求函数yx22x3零点的个数。

法一：求方程f(x)=0的根；法二：画y=f(x)的图像；法三：零点存在定理(结合单调性) 法四：①转化yx2与y2x3图像交点个数；②转化yx23与y2x图像交点个数

【作图好】以形助数的便利性

函数f(x)2xx3有_____个零点。1 函数f(x)2xx2有_____个零点.3 110函数f(x)x2ax1在区间(,3)有零点，则实数a的取值范围______.[2,)

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【好作图】选择对象的合理性

x(3x),0x3设函数yf(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)3

，若函数yf(x)m有四1,x3x9个不同的零点，则实数m的取值范围是_________.(关注渐进线)[1,)

4变式：方程|ex1|ax10有两个不同的解，则a的取值范围_____.(关注函数图像的切线)ae

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x2)f(x)，且当x[0,1]时，f(x)x21,g(x)log3x,则函数h(x)f(x)g(x)有______个零点。2 此题yh(x)的零点直接考查会比较难操作，但是将其装换成yf(x)和yg(x)两个函数图像的交点就迎刃而解了，而且很容易做出两个函数的图像，而且肯定不会出错。但是我们

把这道题稍作变形如下：

【图作好】绘制图像的精确性

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x2)f(x)，且当x[0,1]时，f(x)x21,g(x)logex,则函数h(x)f(x)g(x)有______个零点。

这道题答案是1个零点，我们都知道是转化成yf(x)与yg(x)两个函数图像的交点，但是在点(1,0)的左侧的小区间段内，两函数的都是单调增，到底是哪一个函数的增的快没有上一题那么明显，只能通过求导来确定，我们发现两个函数在点(1,0)处的切线相同，利用切线可以相对精确地绘制出两个函数的图像，发现这两个函数的图像只有一个交点。因此研究单调性相同的两个函数的交点时有时往往还需要结合导数来辅助绘制图像，也就由数辅助形来解决问题。

x1,x0若函数f(x)，方程f(f(x))2n0有三个不同的根，求n的范围_______. lnx,x0f(t)2n解：令f(x)t，则问题转化为求方程组中x的解的个数，

f(x)t0t2e、我们先分析外层方程f(t)2n必须有两个根t1，及t10、t2，n1，这样f(x)t1，2f(x)t2加起来总共应该是3个根，我们注意到f(x)t1肯定两个根，f(x)t2可以有两个根也可以有一个根，根据题意f(x)t2只能有一个根，所以1t2e，再回到f(t2)2n来1。形如yf(f(x))c型的复合函数，通过换元后，2将复合函数零点问题转化为两个方程解的个数问题，先由外层函数结出t的范围，再代入内层函数，数形结合即可求解。

【课堂总结】

数学思想

数学方法

求2n的范围，02n1，即0n对应方程的根函数与方程数零点存在定理---关注函数的单调性数形结合函数的零点作图好：以形助数的便利性

形图作好：绘制图像的精确性好作图：选择对象的合理性转化与化归