3.2.1 对数优质公开课教案

对数的概念

1．对数的概念

一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log10N简记为lg_N. 在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N.

对数的定义

对数符号logaN只有在N>0，a>0且a≠1时才有意义．零和负数无对数，即N≤0时logaN无意义(因为ax>0)．

7求使对数log(a－2)(7－2a)有意义的a的取值范围．2

对数与指数的互化

指数式ab＝N中的幂N即为对数式logaN＝b中的真数N.

1．在求解对数问题时，要注意logaN中对a，N的要求：①对a的要求是：a>0且a≠1；②对N的要求是：N>0. 2．对数的基本性质

对于对数logaN(a>0，a≠1，N>0)，具有以下性质：

零和负数无对数，即N>0；②logaa＝1；③loga1＝0；④alogaN＝N.

将下列指数式与对数式互化：

1－11－(1)43＝64；(2)()2＝9；(3)22＝；(4)log327＝3；(5)log8＝－3；(6)log 2x＝5. 342求下列各式中x的值：

3(1)logx27＝；(2)log3x＝6；(3)log3(lg x)＝1.

9、27、1 000. 2

求对数的值

(1)求对数的值时，可先设其值为x，转化为指数式后再求．

(2)logaaN＝N(a>0且a≠1)，这是对数恒等式，使用时要注意格式．

1.求下列各式的值：

(1)log(2－(1)23)(2＋3)－1; 2＋log35(2)log327; (3)3. 1、3、45 517＋－2log25；(2)22log25；(3)71log75. 5、20、

122.若10＝2，β＝lg 3，则100α4＝________.

3123.已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于________．

244.若loga2＝m，loga3＝n，则a2mn＝________.12 ＋5.若f(10x)＝x，则f(1 000)的值为________．3

对数的运算性质及换底公式

对数的运算性质

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

M(2)loga＝logaM－logaN；

N(3)logaMn＝nlogaM，

(其中a>0，a≠1，M>0，N>0，n∈R.)

对数的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]是存在的，但log2(－3)与log2(－5)均不存在，故不能写成log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)．

注意：lg 2+lg 5=1、平方差公式、立方差、立方和公式的应用

1．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．

对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

2．根据对数的换底公式，可得出下列结论．

m(1)loganbm＝logab(a>0，a≠1，b>0，m∈R，n∈R且n≠0)；

n(2)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，a≠1，b≠1，c≠1)．

计算下列各式的值：

(1)lg25＋lg 2·lg 5＋lg 2；1 (2)2log32－log3

32＋log38－5log53；－1 9

2(3)lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg2 2；3 31(4)(1－log62)2＋log62·log618＋lg 10－ln e2. －

2

logcN换底公式的定义：一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠logca1.)，

换底公式的作用是，统一底数进行计算

利用换底公式求解时，关键是“选择底数”，大致有两种方向：一是将条件和问题中的所有对数都换成同一的底数（常用对数和自然对数），或者选择条件和问题中的“公共数”作为底数。

2b＋a已知lg 2＝a，lg 7＝b，用a，b表示log498.

2a若xlog23＝1，则3x＋9x的值为________．6. 已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645. 111设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z.求证：－＝. zx2y