习题2.1教案推荐

教学目标：

2.1指数函数习题课

1、知识与技能：理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

理解指数函数的概念，理解指数函数的性质。

2、过程与方法：在讲解习题的过程对题目进行分类，让学生能更好的根据题意选择相应的知识点。

3、情感态度：培养学生自主归纳知识点的能力，让学生站在更高的角度看待知识。

教学重点、难点：

1、重点：根式与指数运算

2、难点：指数函数的性质

教学过程：

一、根式与指数幂的运算

1、根式的性质

①annanN*,n1



②nana

nn为奇数

n为偶数

a,a0ana-a,a02、练习：

A.1.求下列各式的值。

141004

3-42

分析：

425-0.1546xy6xy

4

1100100100

250.10.1

5

34444

2

46xyxyxy

6二、根式与分数指数幂的互化

1、幂的相关概念

①正整数指数幂:aaan个na(nN);

②零指数幂:a1(a0);

0

③负整数指数幂:ap1(a0,pN);

pan④正分数指数幂:a⑤负分数指数幂: amnmnam(a0,m、nN,且n1);

1amn1nam(a0,m、nN,且n1)

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. ⑦有理数指数幂的运算

aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);

(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);

(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3、练习：

A2.用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）

b3

1aa2b62a12a12a123m3m4mmm6514

分析：1ba33aba266bab21213ba2ab31



2a12a1211122aa2aammmmm56141213141211121a2a2a2

1112345164131213121313121212

3m3m4mmm6514mmmmm01

mA3.用计算器求值（结果保留4位有效数字）

151328.31233242

2,最后按2,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 即可. 答案：2.881 0; 分析：对于（1）,可先按底数5,再按对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按1键,再按1对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按答案：4.728 8; 键,再按键,再按2,最后按即可. 对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.

答案：8.825 0. 三、利用分数指数幂的运算性质化简、求值。

1、问题1：在指数幂的运算性质中，为什么规定底数要大于0？

提示：当底数为0时，幂指数为0或负数时幂无意义；当底数为负数时，有时不能保证幂有意义，如-12-1无意义，故要规定底数大于0.

问题2：进行幂的运算时，当式子中既有分数指数幂又有根式时，一般应遵循怎样的原则化简？

提示：一般把根式统一化成分数指数幂的形式，再用有理数指数幂的运算性质化简，可总结为：先统一，再运算。

2、练习：

A4.计算下列各式（式中各字母均为正数）

121a13aa34712

2a23aa

34563211112343333

3xy

44ab3ab

1216st

525r426111212342343



6-2xy3xy4xy32121111111

72x23y42x23y4

84x43x4y36x2y3



分析：

(1)aaa(3)(xy23131334712=a1373412=a;

(2)aa÷a=a=x4y-9; 211153233456235346=a712; 3412)=x1123y31241(4)4ab13233233÷(ab)=(×4)ab33=-6ab0=-6a; 33116st)(5)(425r14132632=234()2s332()6()22t5122332()214r34()22326s3t9125r9r6=36=; 364s5r11142412(6)(-2xy12)(3x14y)(-4xy)=［-2×3×(-4)］xx121412y122333=24y; (7)(2x+3y14)(2x-3y13)=(2x)-(3yy23122142)=4x-9y111; 1(8)4x

(-3xy

B2:已知xx114)÷(-6x3444233)==2xy3. xy6123，求下列各式的值：

1xx1212

2x2x2

3x2x2

分析：像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.

解：由题意可知x>0 11111122x2x22x2x2xx12325

xx(1)因为222

所以xx12125

2(2)因为xx1

所以xx2x2x12xx1x2x229

227

2(3)因为xx1

所以xx1x2x22xx1725

5

所以x2x2xx1xx135

四、指数函数的图像和性质

y=ax 图象

a>1 0

定义域

值域

性质

（2）当x>0时，y>1; x<0时,0

练习：

1.利用指数函数的性质解题

A5.求下列函数的定义域：

R （0，+）

（1）过定点（0，1）

(2) 当x>0时，01 （3）在（-，+）上是减函数

11y23x

2y32x1

3y

4y0.7x

2解

（1）要使函数有意义,需3-x∈R,即x∈R,所以函数y=23-x的定义域为R. 5x1

（2）要使函数有意义,需2x+1∈R,即x∈R,所以函数y=32x+1的定义域为R. (3)要使函数有意义,需5x∈R,即x∈R,所以函数y=(1x15x)的定义域为R. 2(4)要使函数有意义,需x≠0,所以函数y=0.7的定义域为{x|x≠0}.

点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.

A7.比较下列各题中两个数的大小：

130.8，

20.75-0.1，

30.7；0.750.1；

3

40.993.3，1.012.7，1.013.5；0.994.5.

解(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y=3x,当x=0.8和0.7时的函数值；

因为3>1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8. (2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值；

因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1. (3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值；

因为1.01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5时的函数值；

因为0.99<1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3. A8.已知下列不等式，比较m,n的大小：

12m2n;

20.2m0.2n;

3aa0a1

4aaa1

mnmn点评：利用指数函数的单调性是解题的关键. 解：.(1)2m,2n可以看成函数y=2x,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数y=2x在R上是增函数.因为2m<2n,所以mn. (3)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0n. (4)am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1, 所以函数y=ax在R上是增函数.因为am>an,所以m>n. B1.求不能使a2x7a4x1a0且a1中x的取值范围. 解：

当0＜a＜1时,a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3; 当a＞1时,a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3. 综上：,当0＜a＜1时,不等式的解集是{x|x＞－3}；当a＞1时,不等式的解集是{x|x＜－3}.

B4.设y1a3x1,y2a2x，其中a>0,，且a≠1.确实x为何值时，有：

1y1y2;

2y1y2

解：

(1)因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x.所以3x+1=-2x.所以x=(2)因为y1>y2,所以a3x+1>a-2x. 所以当a>1时,3x+1>-2x.所以x>1. 511.；当0

指数函数的应用。

A6.一种产品的产量原来是a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出产量y随年数x变化的函数解析式。

解：设经过x年的产量为y,一年内的产量是a(1+的产量是a(1+pp2),两年内产量是a(1+),…,x年内100100pxpx),则y=a(1+)(x∈N*,x≤m). 100100A9.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，用一般的放射性探测器能测到碳14吗？

1解：.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=()5730. 21当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=()2=(957305730119)≈0.002.

2答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,

因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在. 1(2)设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()2t>5.7. 10000t5370<0.001,解得答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B3.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？

解：已知本金为a元. 1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r), 2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2, 3期后的本利和为y3=a(1+r)3, …

x期后的本利和为y=a(1+r)x. 将a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得y=a(1+r)x=1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118.

答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,5期后的本利和约为1 118元. 课后小结:

本堂课同学们有什么收获？

课后练习：

1．（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数f(x)ax(a0,a1)在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)x在[0,)上是增函数，则a＝＿＿＿＿. x2y32．（2011·山东高考理科·Ｔ3）若点（a,9）在函数的图象上，则tan的值为：

63（）0

（）

3

（）1

（）3

1y()x123．（2011·四川高考文科·Ｔ4）函数的图象关于直线y=x对称的图象大致是（

）.

112ab4．（2010辽宁文数）（10）设25m，且ab，则m

（）10

（）10

（）20

（）100 5.（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则

．f（x）与g（x）均为偶函数 . f（x）为偶函数，g（x）为奇函数

．f（x）与g（x）均为奇函数 . f（x）为奇函数，g（x）为偶函数