平方差公式的应用优质教案设计

1.5平方差公式(二) 一、教学目标

(一)教学目标

1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3.体会符号运算对证明猜想的作用. (二)能力目标

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感目标

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣. 2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美. 二、教学重难点

（一）教学重点

平方差公式的几何解释和广泛的应用. （二）教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. 三、学情分析：

学生在刚接触了多项式乘以多项式的乘法计算之后，从一般的计算中抽象出特殊形式的式子及结果写成平方差公式，通过对它的学习和研究，丰富了学习内容，也拓宽了学生的视野，在学生探究交流的同时建立数学模型。

四、教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a. 这个正方形的面积是多少？

［生］a2. ［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2). ［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论. (教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法) ［生］老师，我们拼出来啦. ［师］讲给大伙听一听. ［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).

图1－24 ［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2. ［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式. ［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.

［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证. ［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学***方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用. Ⅱ.讲授新课

［师］出示投影：

想一想：

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

7981791113  

8080881212(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］(1)中算式算出来的结果如下

7981639979631113143  

8080640088641212144［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. ［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

［生］我猜想是.我又找了几个例子如：

2426624133991019999  

252562522410010010000［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1. ［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明. ［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？

(同学们惊讶，然后讨论) ［生］a可以代表任意一个数. ［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡. ［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

(陷入沉思)

［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899. ［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了. 我们不妨再做几个类似的练习. 出示投影：

［例］用平方差公式计算：

(1)103×97 (2)118×122 ［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙. ［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！

［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”. 118=120－2,122=120+2 118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396. ［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出. 练习：

1.填空：

（1）704×696=( + )( - ) =（ ） -（ ）; （2）9.9 ×10.1 =( - )( + ) =（ ） - （ ）; （3） 2001×1999 - 2000 =( + )( - )-2000 =（ ） - （ ） - 2000 =（ ）

222222222［师］我们再来看一组题目：

2.计算：你会算吗？看你算得有多快？

(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3). 学生完成并指名板演，师生共评。

3.还敢挑战吗？那就放马过来吧

(1)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (2)x(x－1)－(x－1)(x+1) 33(3)(3mn+1) (3mn-1)-8m2n2

(4) (a-2b)(a+2b)-(b+4)(b－4) (5)( x -3)( x2 +9 )( x+3) (6)(2x-y) 2 (2x+y) 4.(补充练习) 出示投影: 解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1) (先由学生试着完成) 解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1) (2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12 x=2 Ⅳ.课时小结

这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a (a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了. ……

Ⅴ.课后作业

课本P32、习题1.12. Ⅵ.活动与探究

尝试计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.

五、板书设计

§1.7.2 平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：

二、想一想

特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明

即(a+1)(a－1)=a2－1 三、例题讲解：

四、练习