平方差公式的应用教学目标

《平方差公式的应用》

（第2课时）

教案 教学目标: 知识与技能

通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简单的运算．

过程与方法

通过创设问题情境，让学生在数学活动中通过探索规律，归纳出解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、猜测、验证能力．

情感、态度与价值观

在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 教学重点:平方差公式的应用．

教学难点:准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．

教学过程设计

一、复习导入

1．回顾上节课平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 2．公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差．

3．应用平方差公式的注意事项：

1）注意平方差公式的适用范围

2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

二、探究新知

问题1：如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

a a b

（1）请表示图中阴影部分的面积．（提示：a2-b2）

b

（2）如果将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

（提示：长是a+b，宽是a-b；面积是（a+b）﹒（a-b）

比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

学生讨论，自己得出结果. 设计意图：会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景．

问题2：相邻两个自然数的乘积

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

7979811113  

8880801212(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

探究： (1)中算式算出来的结果如下

7981639911131437963

8080640012121448864从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．

追问1：是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

再找了几个例子：

2426624991019999133  

252562510010010000224发现：对于所有的自然数都有上述规律．

追问2：你能用字母表示这一规律吗？

设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1．

这个结论的正确性，用平方差公式可以说明．

设计意图：通过具体数的运算、发现规律、建立猜想、符号表示、证明或说明，让学生经历数学的探究与发现过程．

三、典例精讲

例1．

用平方差公式进行计算：

（1）103×97；（2）118×122．

解：（1）103×97

（2）118×122

=（100+3）（100-3） =(120－2)(120+2) =1002-32

=1202－4

=9991 =14400－4

=14396

设计意图：呼应“速算王的‘绝招’”这一部分，解答学生心中的疑惑，弥合学生心中的“缺口”，让他们体会到平方差公式的威力．

例2．

计算：

（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)．

分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定

解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

=a2(a2－b2)+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4．

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x)2－52－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x

=6x-25．

设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．

四、课堂练习

(1)704×696

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－)(x+) (1)704×696

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－)(x+) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) 13131313

=(x2－4y2)+(x2－1) =x2－4y2+x2－1

=2x2－4y2－1

(3)x(x－1)－(x－)(x+) =(x2－x)－［x2－()2］

=x2－x－x2+=－x

五、课堂小结

1．设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1．

2．应用平方差公式的注意事项：

1）注意平方差公式的适用范围. 2）字母a、b可以是数，也可以是整式. 3）注意计算过程中的符号和括号. 设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算．

六、课堂检测

填空：

.(3x)(x3)(1

2.(ab)(

1919131313)2()242y9)2)2)2)2)b2a2)(2x)4x23

.(2x

.(____b2)(____4b2)a6b4

.(xyz)(xyz)(56

.(xyz)(xyz)()2()2()2()2(7

.(xyz)(xyz)(8.(xyz)(xyz)( 计算：

221.(ab)(ab)(ab)

2.(xy)(xy)(x2y)(2xy)3.[2x2(xy)(xy)][(zx)(zx)(yz)(yz)]

5. 2001×1999 -20002 6.(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2

7. - (x2)(x2)x（x+8）

121214设计意图：通过拓展练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．

七、课外作业

1. 教材习题1.10 2. 拓展作业：

计算

(2+1)( 22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)

八、板书：

1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 2．公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差．

3．应用平方差公式的注意事项：

1）注意平方差公式的适用范围

2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号