平方差公式的应用教学设计第一课时

1.5.2 平方差公式

教学目标

知识与技能：1．进一步使学生掌握平方差公式，会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 2.会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算. 过程与方法：1.经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景. 2.通过创设问题情境，让学生通过探索规律，归纳出利用平方差公式，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算. 培养学生观察、归纳、应用能力. 情感态度与价值观：在探究学习中培养学生的观察、归纳、应用能力和数形结合意识，体会数学的现实意义和价值. 教学重难点

教学重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用. 教学难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. 教学过程

一、知识回顾

1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们平方的差. 2.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差. 3.应用平方差公式的注意事项：（1）注意算式是否符合平方差公式的特点.（2）字母a、b可以是数，也可以是整式.（3）注意计算过程中的符号和括号. 二、新课引入

如图，边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.

（1）请表示图中阴影部分的面积： （2）请你将阴影部分拼成一个长方形，请在上面画出来，这个长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？

（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

二、讲解新课

1.计算下列各组算式，并观察它们的特点：

7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= 2.从以上过程中，你发现了什么规律？

3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

例3用平方差公式计算：

(1)103×97 (2)118×122 解：原式=(100+3)(100－3) 原式=(120－2)(120+2) =1002 －32 =1202－22

=9991 =14396 试一试：

计算（1）2.03×（-1.97） （2）(a－3)(a+3)(a2+9) 解：原式=(0.03+2)(0.03－2) 原式=(a2－9)(a2+9) =0.032 －22 =a4－81 =-3.9991 (3)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (4)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) 解：原式=a2(a2－b2)+a2b2 原式=(2x)2－52－(4x2－6x) =a4－a2b2+a2b2 =4x2－25－4x2+6x

=a4 =6x－25

长＝ 宽＝ S＝

三、练一练：填空

1. (－3－x)(x－3)=（

）2 -（

）2= . 2. (a－b)( )=b2 -a2

3. (2x+ )(2x- )=4x2 -（）2

4. ( +b2)( - b2)=a6 -b4

5. (x+y－z)(x+y+z)=（

）2 -（

）2

四、课堂小结

1．平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2．

用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．

2．平方差公式的几何意义：

左边：S阴=a2-b2；右边=(a+b)(a-b). 上图可验证平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2. 注意：1．这个公式是由多项式乘法直接计算得到的. 2．公式的特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，相同的项的平方减去符号相反的项的平方，只要符合这一特征，可运用公式进行计算. 3．平方差公式也可逆用，即a2-b2=（a+b）（a-b）. （1）运用平方差公式计算时，一定要注意公式中相同的项为a，互为相反数的项为b，同时含有系数项的不要忘记给系数平方．

（2）进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要带上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算. 方法技巧：用公式时，找a与b的简便方法：(1)由于（a+b）（a-b）可看作（a+b）[a+（-b）]，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b是互为相反数的，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的顶（b与-b）的平方．(2)运用平方差公式进行运算，是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反数的项作为b．

平方差公式常用的几种变形形式：

(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；

(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；

(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；

(4)指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4；

(5)增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2；

五.课堂检测

1. (x-y－z)(x+y+z)=（

）2 -（

）2

(x-y－z)(x-y+z)=（

）2 -（

）2

(x+y－z)(x-y-z)=（

）2 -（

）2

2.计算

（1）(a+b)(a-b)(a2+b2） （2）(x－y)(x+y)-(x－2y)(2x+y) （3）[(2x2-(x－y)(x+y)][(z－x)(z+x)+(y－z)(y+z)] 六、板书设计

1.5.2平方差公式

平方差公式：

（a+b）（a-b）

=a-b

（2）118×122 （2）(a－3)(a+3)(a2+9) （3）a2（a+b）（a-b）+a2b2

； （4）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）

22例3计算：

（1）103×97 ；

计算：

（1）2.03×（-1.97）