3.2.2 对数函数优质课一等奖教案

对数函数

一．教学目标

1．知识技能

①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.

②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.

2．过程与方法

让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.

3．情感、态度与价值观

①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；

②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具

1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；

2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．

三．教学重点、难点

1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.

2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.

四．教学过程

1．设置情境

在2．2．1的例6中，考古学家利用log573012P估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代t与之对应．同理，对于每x一个对数式yloga中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以xyloga关于x的函数．

2．探索新知

一般地，我们把函数ylogax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1．

（2）．为什么对数函数ylogax（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.

答：①根据对数与指数式的关系，知ylogax可化为ayx，由指数的概念，要使ayx有意义，必须规定a＞0且a≠1．

②因为ylogax可化为xay，不管y取什么值，由指数函数的性质，ay＞0，所以x(0,)．

例题1：求下列函数的定义域

（1）ylogax2 （2）yloga(4x) （a＞0且a≠1）

分析：由对数函数的定义知：x2＞0；4x＞0，解出不等式就可求出定义域．

解：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数ylogax的定义域为x|x0.

（2）因为4x＞0，即x＜4，所以函数yloga(4x)的定义域为x|x＜4.

下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：

先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数ylog2x的图象,

再利用电脑软件画出ylog0.5x的图象. 2x

y

y 1

2－1 1 0 2 1 4 2 6 2.58 8 3 12 3.58 16 4 ylog0.5x

０

x

ylog2x

注意到：ylog1xlog2x，若点(x,y)在ylog2x的图象上，则点2(x,y)在ylog1x的图象上.

由于（x,y）与（x,y）关于x轴对称，因此，2ylog1x的图象与ylog2x的图象关于x轴对称

.

所以，由此我们可以画出2ylog1x的图象

.

2 先由学生自己画出ylog1x的图象，再由电脑软件画出ylog2x与ylog1x的22图象.

探究：选取底数a(a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？

4.作法：用多媒体再画出ylog4x，ylog3x，ylog1x和ylog1x

ylog3x

234ylog4x

-50 -25ylog1x

ylog1x

34提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？

-4先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)

图象的特征

（1）图象都在y轴的右边

（2）函数图象都经过（1，0）点

（3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降

.

函数的性质

（1）定义域是（0，+∞）

（2）1的对数是0 x（3）当a＞1时，yloga是增函数，当

0＜a＜1时，ylogax是减函数.

（4）当a＞1时

（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.

当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .

x＞1，则logax＞0 0＜x＜1，logax＜0 当0＜a＜1时

x＞1，则logax＜0 0＜x＜1，logax＜0

由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：

a＞1

0＜a＜1

图

象

（1）定义域（0，+∞）；

性

质

（2）值域R；

（3）过点（1，0），即当x=1，y=0；

（4）在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）是上减函数

例题训练：

1.

比较下列各组数中的两个值大小

（1）log23.4,log28.5 （2）log0.31.8,log0.32.7

（3）loga5.1,loga5.9 （a＞0，且a≠1）

分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：

（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数ylog2x的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：

所以，log23.4log28.5

解法2：由函数ylog2x在R+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4log28.5.

解法3：直接用计算器计算得：log23.41.8，log28.53.1

（2）第（2）小题类似

（3）注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.

解法1：当a＞1时，ylogax在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.

所以，loga5.1loga5.9

当a1时，ylogax在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.

所以，loga5.1loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，

令

b1loga5.1,则ab15.1, 令b2loga5.9,则ab25.9,

则则a25.9

当a＞1时，yax在R上是增函数，且5.1＜5.9 所以，b1＜b2，即loga5.1＜loga5.9

当0＜a＜1时，yax在R上是减函数，且5.1＞5.9 所以，b1＜b2，即loga5.1＞loga5.9

说明：先画图象，由数形结合方法解答

b

课堂练习：Ｐ８５

练习

第２，３题

补充练习

1．已知函数yf(2x)的定义域为[-1，1]，则函数yf(log2x)的定义域为 2．求函数y2log2x(x1)的值域.

3．已知logm7＜logn7＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1 4．已知0＜a＜1, b＞1, ab＞1. 比较loga归纳小结：

②

对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质，列表展现.

11,logab,logb的大小

bb