2.2.1 函数的单调性名师教学实录

苏教版·普通高中课程标准实验教科书 必修1 · 第二章函数概念与基本初等函数

2.1.3 函数的简单性质

函数的单调性

单位：韶关市曲江中学

姓名：肖

伟

霞

1

一、教材、学情分析

1、从近几年高考试题看，函数的单调性定义问题是高考的热点，题型以客观题为主。本片段内容体现了“数形结合思想”，揭示了函数的单调性与其他性质的联系，是研究函数性质的有力工具。

2、学生已有的认知基础是初中学习的一、二次函数的图像与性质，由图像从左到右的变化初步认识函数的单调性。在高中阶段，学生已经学习了函数的概念，研究并掌握了一些基本初等函数的图像。

二、教学目标

知识与技能：

从形与数两方面理解单调性的概念；绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法

过程与方法：

通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力；通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想；经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程

情感态度与价值观：

通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题

三、教学重难点

重点：函数单调性的概念形成和初步运用。

难点：函数单调性的概念形成。

四、教法学法

以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台

五、教学过程与操作设计：

环节

教学内容设置

（一）

创设情境

同学们，今年的冬奥会在哪里举行啊？没错，在韩国平昌。在刚刚结束的冬奥会中，我国自由式滑雪空中技巧队员张鑫顶着压力稳稳落地，获得第二名，我们一起来欣赏一下她的风采。

再以学生熟悉的一次、二次函数图像观察：

师生双边互动

创

设

情

境

引

入

新

课

师：引导学生观看视频，以运动员张鑫的滑雪轨迹作为一个函数图像，观察图像2问题1：请大家分别作出y2x1，y2x1，yx1从左到右的变化过的图像，并观察自变量变化时，函数值有什么变化？

程。

问题2：用初中的知识，如何描述上述图像从左到右的变化过生：观看视频，完成程？

解答；

问题3：能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明师：由上述图像变化上升或下降趋势吗？

的过程得出函数单得出结论：在某一区间内，

调性的图像特点，引当x的值增大时,函数值y也增大—图像在该区间内逐渐上升；

出单调增函数的定当x的值增大时,函数值y反而减小—图像在该区间内逐渐下义。

降。

2

初

步

探

索

，

概

念

形

成

单调增函数的概念：

设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA，如果对于区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有那么就说

f (x)在区间I上是单调增函数，I 称fx1fx2，为

f (x)的单调增区间。

思考题：概念中的“任意”两字可省略吗？

判断1：函数fxx21

在,是单调增函数。

判断2：定义在区间I上的函数

f (x)满足

f (2)> f(1)，则函数f (x)在区间I上是增函数。

类比出减函数的概念：

设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA，如果对于区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有那么就说

f (x)在区间I上是单调减函数，I 称fx1fx2，为

f (x)的单调减区间。

例1：由函数图像写出函数的单调区间：

生：仔细体会感悟单调增函数的概念，完成思考题，举出反例

师：根据增函数的概念，请同学们类比出减函数的概念。

生：进一步理解增函数的概念，得出减函数的概念

师生讨论小结：

（1）在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3）x1,x2取值的任意性

y 概

念

深

化

，

延

伸

拓

展

o X4 X1

X2 X3 x 投影出三个学生的练习：

学生甲：增区间：x2,x3

减区间：x1,x2x3,x4

学生乙：增区间：x2,x3

减区间：x1,x2,x3,x4

学生丙：增区间：x2,x3

减区间：x1,x2,x3,x4

3

生：结合图象，写出

函数的单调区间．

得出答案：

增区间：x2,x3

减区间：x1,x2,x3,x4

单调区间的书写：

函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性无意义。若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可以，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间。

课堂练习：

（1）画出函数yx21图像，并写出单调区间：

解：

yx21的单调增区间是,0；

yx21的单调减区间是0,。

（2）在区间0,上是增函数的是（

）

A、y2x1

B、y3x21

C、y22

D、y2xx1

xx1,x0（3）函数fx的单调区间为___________ x1,x0证

法

探

究

，

定

义

应

用

例2、判断函数yx

师：巡视学生的练习，选出三个学生的代表作业投影出来，引导学生讨论，得出函数单调区间的书写规范性。

师：引导学生画出函数图像，写出单调区间。

生：独立思考，解答练习。

师：提问学生，给予肯定并补充完整，完善答案，

1在区间1,上的单调性。

x总结：主要步骤：

1. 任取x1，x2∈D，且x1

2. 作差f(x1)－f(x2)；

3. 变形（通常是因式分解和配方）；

4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5. 下结论

生：小组讨论。

师：引导学生利用定义证明单调性，强调完善证明步骤。

4

小

结

评

价

，

作

业

创

新

请谈谈你的收获：

（1）

函数单调性的概念

（2）

求单调区间

（3）

判断函数的单调性的常用方法:图像法；

定义证明法

小结：

在情境设置中，以生活材料引入，以二次函数为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，使学生对单调性的认识从感性上升到理性，会利用单调性的定义对函数单调性进行判断。

布置作业：（1、2必做，3选做）

1、求函数y11的单调区间。

x2、证明：函数yx在区间[0，+∞)上是增函数。

生：讨论小结，共同反思，优化学生的认知结构，培养学生自觉独立学习习惯，提升在学习中反思小结的能力。

师：对学生的小结给予肯定并补充完善；

布置分类作业，让学有余力的学生得到进一步的提升。

x2,x03、拓展探究：已知函数fx是（-∞，+∞）xa,x0上的增函数，求a的取值范围。

六、板书设计

多媒体演示区

1、

函数单调性定义

定义内容

2、

函数单调性证明

例2、

证明过程

（1）

设元

（2）

作差

（3）

变行

（4）

断号

（5）

结论

课堂练习展示区

学生互动区

5