3.1.2 指数函数第二课时教学实录

第3章

指数函数、对数函数和幂函数

3.1

指数函数

3.1.2

指数函数

A级

基础巩固

1．下列一定是指数函数的是(

) A．形如y＝ax的函数

B．y＝xa(a>0，a≠1) C．y＝(|a|＋2)－x

答案：C 2．下列判断正确的是(

) A．2.52.5＞2.53

C．π2＜π2D．y＝(a－2)ax

B．0.82＜0.83

D．0.90.3＞0.90.5

解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，

所以0.90.3＞0.90.5. 答案：D 3．函数y＝2x＋1的图象是(

)

解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A. 答案：A 4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(

) A．ex＋1

B．ex－1

C．e－x－1

D．e－x＋1

解析：和y＝ex关于y轴对称的是y＝e－x，将其向左移一个单位即y＝e－x－1.

答案：C 5．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝5f(g(1))＝1，则a＝(

) A．1

B．2

C．3

D．－1 解析：先求函数值，再解指数方程．

因为g(x)＝ax2－x，所以g(1)＝a－1.因为f(x)＝5|x|，

所以f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1.所以|a－1|＝0.

所以a＝1.

答案：A 6．当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(

) A．1＜|a|＜2

C．|a|＞1

B．|a|＜1 D．|a|＞2 x，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若解析：根据指数函数性质知a2－1＞1，即a2＞2.

所以|a|＞2. 答案：D 23x231－x7．已知a＋a＋2>a＋a＋2，则实数x的取值范围________．

3125解析：因为a＋a＋＝a＋2＋>1，

24223x即y＝a＋a＋2在R上为增函数，



1所以x>1－x⇒x>.

21答案：2，＋∞

8．函数y＝a2x＋b＋1(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象恒过定点(1，2)，则b的值为________．

解析：因为函数y＝a2x＋b＋1的图象恒过定点(1，2)，

2×1＋b＝0，所以0即b＝－2.

a＋1＝2，答案：－2 19．若函数f(x)＝a＋x为奇函数，则a＝________．

4＋1解析：因为f(x)为奇函数且定义域为R，

11所以f(0)＝0，即a＋0＝0.所以a＝－.

24＋11答案：－

210．求函数y＝

32x－11－的定义域为________．

92x－1解析：要使函数有意义，则x应满足3即32x－1≥3－2.

因为函数y＝3x是增函数，

1所以2x－1≥－2，即x≥－.

21故所求函数的定义域为－2，＋∞. 1答案：－2，＋∞

1－≥0，

9

1x－2x＋211．求函数y＝2(0≤x≤3)的值域．

1t解：令t＝x－2x＋2，则y＝2，

22又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，

因为0≤x≤3，

所以当x＝1时，tmin＝1，当x＝3时，tmax＝5.

11故1≤t≤5，所以2≤y≤2.

11故所求函数的值域32，2. 51212．已知函数f(x)＝1＋x. 2－1(1)求函数f(x)的定义域；

(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．

2(1)解：f(x)＝1＋x，

2－1因为2x－1≠0，所以x≠0.

所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．

(2)证明：任意设x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2.

2（2x2－2x1）22f(x1)－f(x2)＝－＝.

2x1－12x2－1（2x1－1）（2x2－1）因为x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2，

所以2x2＞2x1且2x1＜1，2x2＜1.

所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

所以函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．

B级

能力提升

113．函数y＝a－(a>0，a≠1)的图象可能是(

) ax

111解析：函数y＝a－过点0，1－a，当a>1时，1－∈(0，1)aax11x且为增函数，排除A，B；当0

答案：D 14．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)等于(

) 1517A．2

B.

C.

D．a2

44解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

所以由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2.①

所以得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2.②

①＋②，得g(x)＝2，

①－②，得f(x)＝ax－a－x.

又g(2)＝a，所以a＝2.所以f(x)＝2x－2－x.

15所以f(2)＝2－2＝. 42－2答案：B

1，x＜0，x115．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集是31x，x≥0，3________．

11x1解析：(1)当x≥0时，由f(x)≥得3≥，

33所以0≤x≤1.

11(2)当x＜0时，不等式≥明显不成立，

x31综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．

3答案：{x|0≤x≤1} 16．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．

1解析：当a>1时，有a＝4，a＝m⇒a＝2，m＝，但此时g(x)22－11＝－x为减函数，不合题意．若0

161答案：

42ax－4x＋3117．已知函数f(x)＝3. (1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．

1－x－4x＋3解：(1)当a＝－1时，f(x)＝3，

2

令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，

由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，

1y＝3在R上是减函数，

x所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．

12(2)令h(x)＝ax－4x＋3，f(x)＝3h（x），

由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；

a＞0，因此必有12a－16解得a＝1.

4a＝－1，故当f(x)有最大值3时，a的值为1. 18．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)? 解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL，…，x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)xmg/mL，由14题意知0.3(1－50%)x≤0.08，2≤.

15114采用估算法，x＝1时，2＝＞.

2151144x＝2时，2＝＝＜.

416151由于2是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2.

x21x

故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.