2.2.1 函数的单调性教学内容概述

§2.2.1函数的单调性

江苏省高邮中学 邹广银

设计理念：

《普通高中数学课程标准》明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视互动交流，在教学过程中渗透情感态度与价值观。

教材分析：

函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化和函数值的变化定性地联系在一起。学生在初中学习函数时，已经借助图像的直观性来研究过了一些函数的增减性，本节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高。本节课的关键在于通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，从数的角度来刻画函数的增减性，这是本节课的重点以及难点，也是学生首次从数的角度来研究函数的性质。教材中对函数的增减性的判断，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。这节内容的重点是从数的角度来建构函数的单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念。

教学目标：

1、知识与技能：

学生能理解函数单调性的概念，并能判断或证明一些简单函数在给定区间上的单调性；

2、过程与方法：

（1）通过观察—猜想—推理—证明这一重要的思想方法，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力，进而培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

（2）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育。

3、情感态度与价值观：

(1)从函数的单调性概念的形成中，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力；

(2)对函数的单调性本质的认识中理性地描述生活中的增长、递减现象，体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维。

学情分析：

这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论，这是学生从形的角度对函数的增减性的一种认识。本节课的重要任务就在于如何引导学生把增减性“形”的角度的认识转化为“数”的角度的认识，从而建构函数增减性的定义，由此将函数的“增减性”运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，这其中，学生接受起来可能比较困难。为此，在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解。对于定义，还要注意对区

间上所取两点x1,x2的“任意性”的理解，这也是学生认识上有困难的一个方面，教学中，要可从取“特殊值”能否刻画的角度来帮助学生，同时，多给学生操作与思考的时间和空间。

教学设计：

一、问题情境：

如图为某市一天内的气温变化图：

观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况。

提出核心问题：怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

二、温故知新：

分别作出下列函数的图像：

（1）fx2x；

（2）gxx2；

（3）hxx。

2根据三个函数图像，分别指出当x,时，图像的变化趋势？

三、建构数学：

1、首先引导学生对上述问题进行探讨———观察分析：

观察函数fx2x，gxx2，hxx的图像，可以发现：fx2x在2,上、hxx2在0,上的图像由左向右都是上升的；gxx2在,上、hxx2在,0上的图像由左向右都是下降的。函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性，进而引入课题：函数的单调性。

提出问题1：如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？

以函数hxx，x0,为例，图像由左向右上升，意味着“随着x的增大，相2应的函数值yhx也增大”。

提出问题2：何为“随着x的增大，相应的函数值yhx也增大”？怎么用数学语言刻画？

进而，由学生讨论出，自变量x的值之间需要比较大小，相应的函数值hx的值之间也需要比较大小。

提出问题3：自变量x的值之间如何比较大小？需要比较多少次？能否取两个特殊的x的值比较大小从而得到相应的函数值的大小后就得到结果？

学生讨论出两个结论：

(1)由于在0,上有无数个x的值，所以不能一个一个地比较大小，只能选择两个“代表”来代替这些所有的x的值；

(2)由于这两个“代表”要能代表0,的所有的自变量x的值，所以它就应该具有一般性，从而只能在0,上任意地取两个值x1,x2x1x2。

提出问题4：对于函数hxx在0,上而言，如果自变量的任意两个值x1,x2的2大小已经确定，比如：x1x2，那么，它们相应的函数值hx1,hx2会有怎样的大小关系？(hx1hx2)如果x1x2呢？

这样，就将函数hxx在区间0,上，图像由左向右上升，即“随着x的增大，2相应的函数值yhx也增大”用数学语言“对于任意的x1x20,，都有hx1hx2”(或“对于任意的x1x20,，都有hx1hx2”表示了出来。

提出问题5：对于函数hxx在,0上而言，你能用上述方法表示吗？

2提出问题6：对于任意的其它函数，函数“随着x的增大，相应的函数值也增大”(或函数“随着x的增大，相应的函数值而减小”)你能用此方法刻画吗？

2、在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括

设函数fx的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么我们就说函数fx在区间D上是增函数；(如图1) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么我们就说函数fx在区间D上是减函数；(如图2)

如果函数yfx在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数yfx在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作yfx的单调区间。

3、提出问题，组织学生讨论———概念辨析

（1）定义在R上的函数fx，满足f2f1，能否判断函数fx在R是增函数？

（2）定义在R上函数fx在区间,0上是增函数，在区间0,上也是增函数，判断函数fx在R上是否为增函数？

（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

强调：定义中x1,x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的。

四、数学应用：

例1、证明函数fx2x1在,上是增函数。

引导学生归纳判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

①设x1,x2D，且x1x2；

②计算fx1fx2，并将代数式转化为x1x2的形式；

③判断上述差的符号；

④下结论。

教师把重心放在思路的分析（函数单调性的理解、运用）上，而让学生进行具体证明步骤的书写。(通过例题讲解加深学生对定义的理解和知识的应用)

1在区间,0和0,上都是减函数。

x1思考：能否说，函数fx在定义域,00,上是减函数？

x例2、证明函数fx(进一步使学生明白函数的单调性是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有，函数的单调性区间是函数定义域的一个子集。)

五、课堂练习：

1、证明：（1）函数fx2x在0,上是增函数。

（2）函数fxx2x在,1上是减函数。

2、判断函数的单调性，并写出相应的单调区间：

(1)fx2x24x；

(2)fx1x2。

x2六、拓展延申：

(1)若函数fx满足：对于任意的x1x2D，有fx1fx2x1x200，则函数fx在区间D上的单调性是 ；

(2) 若函数fx满足：对于任意的x1x2D，有fx1fx200，则函数x1x2fx在区间D上的单调性是 。

七、课后作业：

课本P.45习题1.3第1、2、3、4题。