2.2.1 函数的单调性教案评析

函数的单调性与最大（小）值

教学基本信息

课题

学科

函数的单调性与最大（小）值

第一课时

数学

学段

高中

年级

高一年级

相关领域

1.3.1 函数的单调性与最大（小）值

书

名：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修1 教材

出

版

社：人民教育出版社

【教学目标】

知识与技能

使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判定函数单调性的方法. 过程与方法

引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构函数单调性概念的过程，经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，体验数学的科学价值和应用价值. 【教学重点】

教学重点:理解函数的单调性. 【教学难点】

教学难点:利用函数的单调性概念证明具体的函数的单调性. 【教材分析】

~ 1 ~

最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题，是高中数学的一个重点，它涉及到高中数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技能，灵活选择合理的解题途径.本节课利用单调性求函数的最值，目的是让学生知道学习函数的单调性是为了更好地研究函数.利用单调性不仅仅确定函数的值域、最值，更重要的是在实际应用中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题. 【学情分析】

按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明. 【教学策略与设计】

建构主义学习理论认为：数学知识不能从一个人迁移到另一个人，学生学习数学是一种再创造过程，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构.为此本节课采用“启发探究”的教学方法，通过学案导学、先学后启，当堂训练的教学方式来引导学生积极主动的进行建构. ~ 2 ~

高中生认知结构的完整体系基本形成,认知活动的自觉性明显增强，可以自己去“寻找”知识，因此，在学法方面可以采取任务驱动，课前让学生自主探究、课上小组讨论、展示、纠错、教师点拔、当堂达标等环节进行学习.采用这些学法的目的是让学生自主参与知识的发生、发展和形成过程，培养学生的自主学习能力. 教学过程中使用多媒体技术来辅助教学．运用多媒体引入课题、画函数的图象、出示当堂检测题、学生展示等，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观的感性材料，有助于学生对问题的理解．

【课型】

数学概念课

【教学时间分配】

本节课共45分钟，具体时间分配见教学过程.

【教学准备】

教师资源与工具

1、《普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修1》

2、《普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修1教师用书》

3、教案《函数的单调性与最大（小）值》第一节

4、自制《函数的单调性与最大（小）值》第一节

学生资源和工具

1、《普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修1》

2、直尺、坐标纸、查阅2008年北京奥运会开幕式时间由7月25日推迟到8月8日的原因. ~ 3 ~

【教学方法】

讲授法、讨论法、演示法、练习法

【教学过程】

教学问题设置

内容

创

设

情

境，

引

入

课

题

2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，通过查阅资料，同学们能够说出其中的原因吗？

上图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 问题：请同学们观察图象当天的最高温度、最低温度何时达到？

哪些时段温度升高，哪些时段温度降低？

上图温度T随时间t的变化图是一

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事. 师：引导学生观察图象的升降变化导入新课. 生：读图，说出自己的

看法. 师生活动

媒体设计意图

运用

白板展示曲线图

由生活情境引入新课，激发兴趣.启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课. ~ 4 ~

种函数关系吗？你能说说此图反映了相应函数的哪些变化规律吗？这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性.

归纳探索，形成概探问题3：函数f(x)x的图象自左向右究规律，理性是上升的，函数f(x)x的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”呢？

问题4：请同学们观察课本表1-3，自变量x从0到4变化时，函数值y如何变2借对于自变量变化时，函数值是变大师：引导学生观一次函数f(x)x图象的变化趋势. 生：观察函数

白板展示函数图象

体会函数助还是变小，初中同学们就有了一定的认图识，但是没有严格的定义，今天我们的象任务首先就是建立函数单调性的严格，定义. 直问题1：作出一次函数f(x)x的图观感知

f(x)x的图象自左向右是上升的. 从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

f(x)x的图象，回答问题. 象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律，函数图象自左向右有什么样的变化趋势？

问题2：你能描述函数f(x)x的图2师：启发学生获取函数f(x)x图象的升降点，并将其与函数2f(x)x的特点进行象的升降规律吗？

比较. 生：观察图象，发现函数f(x)x的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的，比较两个函数的图象，指出它们的不同点.

生：读表并回答问题.

2把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证~ 5 ~

念

认化？

识

问题5：在0

上，任意改变自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有xx吗?由此你能得出什么结论？

问题6：刚才我们所验证的是一些具体的、有限个自变量的值，对于0

上任意的x1,x2，当x1x2时，是否都有2呢？

x12x22122

生：随意取一些x值进行验证. 表述各自的结论.

生：思考、讨论、交流. 明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

教师引导学生得出：函数f(x)x2在0

上图象是上升的，用函数解析式描述就是：2对于0

.即函数值随自变量的增大而增大，上任意的x1,x2，当x1x2时，是否都有x12x2具有这种性质的函数叫增函数. 抽问题7：对于一般的函数yf(x)，师：引导学生讨论、交流，

象思维，形成概念

如何定义增函数？

问题8：类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

问题9：判断下列说法是否正确？

并进行评价，补充完整后给出增函数的定义. 生：讨论、交流，尝试对增函数进行定义. 从具体到一般引出增函数的定义. 类比得出减函数的定义，由此培养学生的类比能力. 让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．

（4）因为函数f(x)断题的辨析，加深学生对定义师生共同给出减函数的1（1）已知f(x)，因为x定义. f(1)f(2)．所以f(x)是增函数. (2)若函数f(x)满足f(2)

（3）若函数f(x)在区间(1,2]和

教师引导学生进一步认识增、减函数的定义. 1在区间x的理解，完成对概念的第三次~ 6 ~

所以(,0)和(0,)上都是减函数，认识.

1f(x)在(,0)U(0,)上是减x函数. 通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AUB上是增（或减）函数．

掌

握

证

法，

适

当

延

展

例1：课本P29-例1. 例2：求证函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)

上是减函数．

练习：课本P32-3. 师：指导学生阅读教科书上的例1. 生：阅读例1，完成课本P32-3.

使学生熟悉用定义证明函数为增函数的基本步骤. 练习的目的是启发学生利用概念解决实际问题. 问题10：通过例2，你能总结一下证师：分析并板书例2，启明一个函数在某个区间上的增（减）函数的步骤吗？

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

发学生概括用定义证明函数为增函数的一般步骤. 生：交流总结的步骤

师：板书证明步骤.

归

纳

小

小结

1.描述函数单调性的三种方法：图象语言、自然语言、符号语言

2、定义中的三个关键词：

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．通过小结，学生熟知本节课所学内容. ~ 7 ~

结，

提

高

认

识

定义域内某个区间、任意、都有

3、证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

4、数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

作业

书面作业：课本第39页,习题1.3 第2,3题．

【板书设计】

函数的单调性与最大（小）值

1．增函数的概念：

2.减函数的概念：

3.证明一个函数在某个区间上的增（减）函数的步骤

学

生

练

习

区

例2.

【教后反思】

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

~ 8 ~