2.2.1 函数的单调性教学设计实例

《函数的最值》教学设计

一、教材分析

函数内容是高中数学的一条主线，而本节课函数的最大（小）值是高中数学第一学期《必修一》的内容，是函数基本性质的重要部分。函数最值的教学意在培养学生数形结合和分类讨论的数学思想方法，培养学生严谨的学习态度。通过对本节课的学习，学生不仅巩固了刚刚所学的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决问题的能力，将函数的思想方法贯穿整个高中数学课程。

利用函数的单调性解决二次函数（含参二次函数）的最值问题是本节课的重点和难点。通过设置问题情景，再次出示教材图2-2-1，引导学生观察全天的最高气温和最低气温，从而引出最值的概念，培养学生的观察能力和归纳概括能力。通过对函数最值的学习，加强学生对函数单调性概念的进一步理解，并结合函数单调性，通过运用数形结合的的数学思想方法解决有关二次函数（含参二次函数）的最值问题，注重知识间的密切联系。

二、学情分析

本节课是在学生学习了《函数的单调性》和《二次函数》知识的基础上进行的，所学内容为本节《函数的最值》的学习奠定了充分的知识基础。但利用函数的单调性解决二次函数（含参二次函数）的最值问题相对较难，学生对所学知识的运用能力相对薄弱，须加以引导，培养学生数形结合和分类讨论的数学思想方法，增强学生对已有知识的运用能力和探索精神。

三、教学目标

1、知识与技能

①

掌握函数最大、最小值的概念；

②

能够利用函数的单调性解决二次函数（含参二次函数）的最值问题。

2、过程与方法

①

通过对函数最值的学习，加强对函数单调性概念的理解，通过观察、思考、总结了解最值的基本特征；

②

渗透数形结合和分类讨论的数学思想方法。

3、情感、态度、价值观

①

让学生在学习过程中体会课程之间的联系；

②

培养学生积极参与，善于发现，勇于探索的科学精神。

四、重点与难点

教学重点：利用函数的单调性解决二次函数（含参二次函数）的最值问题。

教学难点：利用函数的单调性解决二次函数（含参二次函数）的最值问题。

五、教法分析

创设情境----提出问题----探求新知----启发引导----解决问题，本节课主要针对这五个方面，通过创设情境，激发学生学习数学的兴趣，培养学生对各知识之间相互联系的理解，通过探索问题----分析问题----解决问题，让学生在探索知识的过程中感受成功的喜悦，体现了教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。

六、课前准备

要求学生回顾所学二次函数的图像与性质及函数单调性的知识，做好必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律)。

七、教学过程设计

教学环节一

（一）问题情境

观察某地的气温变化图，你能从中发现什么？

[生]该地区最高温度（最高点）10度，最低温度（最低点）-2度。

[师]从该图中可以看出最高气温10度，其他时刻的气温都不超过该温度；最低气温-2度，其他时刻的气温都不低于该温度。

那么，像这样的最高、最低，我们如何用数学语言来描述？

设计意图：

创设情境

提出问题

引出课题

通过复习回顾使学生熟悉基础知识、特别是利用函数的单调性对图像进行分析，为本节所学函数的最值做充分的准备。对知识的引入过程体现了由特殊到一般的数学思想方法，符合学生的认知规律。

教学环节二

（一）数学建构

函数的最值定义

（1）最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数对于任意的存在其中，，都有；

，那么称满足： ，使得为最大值点. 是函数y=f(x)的最大值． 思考1：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)最小值的定义.（学生活动）

（2）最小值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数对于任意的存在其中，，都有；

，那么称满足： ，使得为最小值点. 是函数y=f(x)的最小值． 注：单调性是在某个区间内研究，而最值是在整个区间内研究. 思考2：对于每个确定的函数，其最大、最小值是否一定存在？

思考3：对于每个确定的函数，其最大、最小值是否唯一？取到最大或最小值时函数的自变量是否唯一？

（二）数学运用

1、二次函数的最值

例1、求的最值.

方法总结：判断二次函数最值的方法：

①

利用二次函数的性质（配方法，公式法）求函数的最值

②

利用图象求函数的最值 ③

利用函数的单调性判断函数的最值 若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 变式：求求求在[-3，-2]上的最值. 在[-2，2]上的最值. 在[0，2]上的最值. 思考4：变式中的3个函数与例1中函数的区别？

设计意图：在例1的二次函数的基础上增加区间限制条件，让学生对区间内最值的取值进行思考，进而发现最值与单调性的联系. 2、含参的二次函数的最值（渗透分类讨论和数形结合思想）

例2、已知函数，，a是常数，求函数的最小值.

思考5：观察例2与变式中函数有什么不同？这个二次函数什么是确定的？什么是不确定的？

分析：二次项系数影响开口方向；一次项系数影响对称轴；常数项与y轴的截距有关.该函数中，一次项系数不确定，动轴定区间，需要对对称轴分三类进行讨论，利用单调性求某段区间上函数的最值. 练习：求函数在区间[1,3]上的最大值. 分析：动轴定区间，需分类讨论（左、中、右）. 例3：求函数在区间[t,t+2]上的最大值. 思考6：观察例3中函数与例2中函数的区别？这个二次函数什么是确定的？什么是不

确定的？

分析：定轴动区间，需讨论对称轴与区间的关系，进行分类讨论，利用单调性求某段区间上函数的最值. 思考7：你能总结出求含参二次函数最值的方法吗？（学生独立总结，教师进行补充）

设计意图：在例1的基础上，分别对一次项系数和区间进行变化，在动轴定区间和动区间定轴的研究中，让学生通过研究观察，掌握解决该类问题的方法，渗透分类讨论和数形结合思想.

（四）课堂小结

1. 学会运用向量数量积的定义及坐标运算公式，推导两角和与差的余弦公式。

2. 注意两角和与差的余弦公式的特征：同名之积相加减，运算符号左右反。

cos(-)coscossinsin

cos()coscos-sinsin

（通过口诀概括两角和与差的三角函数关系式，有助于学生对本节课的内容更好地掌握，便于记忆）

3.

三角变换时，注意角与角之间的关系及角的范围。

（五）课后作业

1、两角和与差的练习

2、思考：试运用今天所学知识和方法证明：

sin(-)sincoscossin

sin()sincoscossin

分析：通过对作业的思考，有助于学生进一步熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识，回馈教学效果，思考题是为下一节课的内容做准备，考察如何利用所学知识解决新的问题以及渗透类比的思想方法。

设计意图：构建数学模型，在直角坐标系中运用所学的平面向量及三角函数的知识，解决新问题，得到两角和与差的余弦公式的特殊情况，并推广到任意角的余弦公式。在学生掌握了

公式的基础上，通过例题对公式的正向运用、逆向运用以及对公式的变形练习，进一步加深学生对本节课知识的认识。

八、设计说明

两角差的余弦公式的推导是本节课的教学重点和难点。一方面，公式的推导过程比较复杂，需要学生对任意角有较好的理解；另一方面，基于数学核心素养，要培养学生观察、分析问题、解决问题的能力，培养学生逆向思维的意识和习惯以及勇于探索的求知精神。所以如何引导学生发现问题、思考问题、可以解决问题是这堂课成功与否的关键，让学生在探索、思考、构建的过程中将证明变成真正有意义的学习活动，感受数学之美。

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