2.2.2 函数的奇偶性设计意图

课题：2.2.2函数的奇偶性

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书

数学必修1

一、

教学目标：

1.理解函数奇偶性的定义，能判断一些简单函数的奇偶性. 2.通过用f(x)满足的关系（即函数方程）描述函数图象对称性的过程，体验数学概念学习的方法，学会利用函数图象理解和研究函数性质的方法. 二、教学重点、难点

重点：函数奇偶性概念及其形成过程；判断函数奇偶性． 难点：如何利用点的对称理解函数图象的对称性. 三、教学方法与手段：

用引导发现和讲练结合的教学方法，突出教师的“导”和学生的“探”，借助多媒体课件让学生在教师的引导下，学会思考，大胆探索，建构知识，体会思想，形成技能．

四．教学过程：

（一）问题情境

请在平面直角坐标系中画出函数f(x)x2的图象。

x

3

2

1

0

0

1

2

3

32

f(x)

(3)2

(2)2

(1)2

12

22

【设计意图】学生利用列表、描点、连线的步骤作出函数f(x)x2的图象，在这个过程中第一步列表体现“数”的对称性，第二步描点体现“点”的对称性，最

终连线成图则体现了“形”的对称性，初步形成学生的认知冲突，为进一步研究函数图象的对称性做好准备．

前面我们刚刚研究了函数的单调性，函数f(x)x2在[0,)上是单调增函数，从图象上看是一种上升的趋势，这种图象特征用关于f(x)满足的关系表示是：对于任意的两个值x1x2都有f(x1)f(x2).这节课我们继续研究函数的其他性质。与研究函数单调性的思路一样，我们先从一个典型函数着手. 问题1 观察函数f(x)x2的图象，从整体上看，图象有什么特征？

【设计意图】从函数的单调性引入，回顾研究函数性质的思路—由“形”到“数”，为本节课的学习指明方向，明确方法。引导学生观察函数f(x)x2图象的整体性质——对称性，是研究奇偶性的思维起点. （二）建构数学

问题2 函数图象关于y轴对称的这种性质如何用关于f(x)满足的关系表示？

【设计意图】这是本节课的核心问题，也是贯穿与高中数学学习函数性质：如单调性、奇偶性、周期性……整个过程中的核心问题，问题的提出有助于学生理清学习函数性质的认知线索，同时也为今后学习其他函数性质提供模板，培养学生的理性思维，用“数学”的方法研究数学。

【学生活动】

预设一：学生在列表时已经发现f(1)f(1),f(2)f(2),由特殊到一般，因而归纳出f(x)f(x). 预设二：

学生从点关于y轴的对称描述函数图象的关于y轴对称的性质. （预设一起点低，较直观，符合高一学生的认知特点；函数图象的对称性的本质应该是点的对称，体现在预设二，视学生的思维水平而定，可以引导学生思考问题3.）

问题3 图象可以看作是满足某种条件的点的集合，如何从点的角度描述“图

象关于y轴对称”？

【设计意图】老师引导，以函数f(x)x2为例展开推广至一般函数，从观察图象整体性质出发，过渡到图象上点的坐标的关系分析，最后用关于f(x)满足的关系表示，点的对称是图象对称的本质，而这个过程就是研究函数基本性质的通法. 【学生活动】

预设一：在关于y轴对称的函数yf(x)图象上任取一点P(x,f(x)),那么在图象上一定存在点P(x,f(x)),P与P关于y轴对称，两个点的坐标关系为f(x)f(x). 预设二：在关于y轴对称的函数yf(x)的图象上取一个点(x,f(x))，则它关于y轴的对称点是(x,f(x))一定在函数图象上，所以有f(x)f(x). （预设一与预设二是对点对称体现函数图象的对称性的不同理解，根据学生在课堂的思维方向讲透其中一种）

问题4 能否用文字语言描述等式f(x)f(x)？

【设计意图】

加深学生对函数图象关于y轴对称的理解，再次揭示“形”与“数”的联系。

【阶段小结】：通过以上的问题，函数图象对称与f(x)满足的关系的内在联系。

函数图象

f(x)满足的关系

关于y轴对称

f(x)f(x)

1问题5请用类似的方法研究函数f(x),f(x)x的图象的整体特征，并用x关于f(x)满足的关系表示。

函数图象

f(x)满足的关系

追问：如何利用点的对称性理解f(x)f(x)？

【设计意图】放手让学生独立运用刚才研究偶函数的方法，“走”一遍奇函数的研究过程，让学生再一次领悟这种典型的研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

[建构概念]一般地，设函数yf(x)的定义域为A．

（1）如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数；

（2）如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数；

性质：偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于坐标原点对称．

[理解定义]1.定义中的关键词是什么？怎么理解？

追问：函数f(x)x2,x(2,2]，大家再看看还是偶函数吗？

函数f(x)x2是定义在(3,a)上的偶函数，则a_

2.奇函数或偶函数的定义域具备什么特征呢？

【设计意图】

奇函数、偶函数的定义是学生关注的焦点，而定义域是隐含条件，容易被忽视，由几个变式认识定义域对形的影响，进而影响对称性，再挖掘定义域的规律，思维在问题解决中得以延伸与拓展. （三）数学应用

例1（教材42页例6 ）判断下列函数是否为奇函数或偶函数 （1）f(x)x21 (2)f(x)x1

x（3）f(x)2|x| (4)f(x)(x1)2

【设计意图】通过（1）（2）小题让学生掌握判断函数是否具有奇偶性的两种判

断方法，并强调解答题需从定义来论证，书写过程按格式进行规范书写，明确判断函数奇偶性的步骤.（3）绝对值函数的处理；（4）要说明一个函数不是奇函数或偶函数，只需要举反例。

（四）

反思提炼

师生合作，主要围绕以下几方面进行总结． 1.知识脉络：

本节课围绕函数图象关于y轴对称的这种性质如何用关于f(x)满足的关系表示展开，请同学们思考

如果函数图象关于直线xa对称，如何用关于f(x)满足的关系表示？

2. 思想方法：在解决上述的问题时，运用了什么思想方法？

3. 解题方法：①

判断函数奇偶性有哪些方法？②

用定义判断奇偶性的注意点.