2.2.1 函数的单调性教学目标

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A. 定

义

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2

当x1

当x1

减函数

图象描述

自左向右看图象是______ (2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上是______________或______________，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．

自左向右看图象是______

2．函数的最值

前提

条件

结论

【知识拓展】

函数单调性的常用结论

fx1－fx2fx1－fx2(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是x1－x2x1－x2减函数．

a(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，xa]．

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)

) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(

) 1(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(

) x(4)所有的单调函数都有最值．(

) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(

) (6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(

) 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得

对于任意的x∈A，都有__________

f(x0)为最大值

对于任意的x∈A，都有__________ f(x0)为最小值

1．(教材改编)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．(填序号) 1①y＝；②y＝2x－1；③y＝1－x；④y＝(2x－1)2. xx，x≥0，2．(教材改编)函数y＝2x，x<0

的单调增区间为____________；单调减区间为____________．

3．(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为______________________．

4．(2016·盐城模拟)函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间为________．

5．(教材改编)已知函数f(x)＝2，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________. x－1

题型一

确定函数的单调性(区间) 命题点1

给出具体解析式的函数的单调性

1例1

(1)(2016·连云港模拟)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是______________．

2(2)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为____________．

命题点2

解析式含参数的函数的单调性

ax例2

已知函数f(x)＝2(a>0)，用定义法判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．

x－1

引申探究

如何用导数法求解例2？

思维升华

确定函数单调性的方法

(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；

(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；

(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．

(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为__________．

(2)已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．

题型二

函数的最值

1x，x≥1，例3

(1)函数f(x)＝的最大值为________．

2－x＋2，x<1x2＋2x＋a(2)已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1. x1①当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2②若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

思维升华

求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

(1)函数y＝x＋x－1的最小值为________．

x2＋8(2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为________．

x－1题型三

函数单调性的应用

命题点1

比较大小

例4

已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x21－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为____________．

2

命题点2

解函数不等式

1例5

(2017·苏州月考)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f()＝0，则满足2f(log1x)>0的x的集合为________________．

9命题点3

求参数范围

例6

(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是____________．

2－ax＋1，x<1，fx1－fx2(2)已知f(x)＝x满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取x－x12a，x≥1

值范围是________．

思维升华

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

1

(1)(2016·徐州模拟)已知函数f(x)＝x(ex－x)，若f(x1)

2①x1>x2;

②x1＋x2＝0；③x1

④x21

1．解抽象函数不等式

典例

(14分)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2. 思维点拨

(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)

规范解答

(1)证明

设x1，x2∈R且x10，

∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[3分] f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[5分] ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)

∴f(x)在R上为增函数．[7分] (2)解

∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[9分] f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分] ∵f(x)在R上为增函数，

∴a2＋a－5<1⇒－3

即a∈(－3,2)．[14分]

解函数不等式问题的一般步骤

第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)

第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式

组；

第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；

第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

答案解析

基础知识

自主学习

知识梳理

1．(1)f(x1)

f(x1)>f(x2) 上升的

下降的

(2)单调增函数

单调减函数

2．f(x)≤f(x0)

f(x)≥f(x0) 思考辨析

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)√

考点自测

1．②

2.[0，＋∞)

(－∞，0) 23．(－∞，1]

4.(0，＋∞)

5.2

5题型分类

深度剖析

例1

(1)(－∞，－2) (2)(－∞，－1]，[0,1] 例2

解

设－1

则f(x1)－f(x2)＝ax1ax2－2

2x1－1x2－12ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2＝

x2x21－2－a(x2－x1)(x1x2＋1)＝

2(x1－1)(x22－1)∵－1

2∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x22－1)>0. 又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，

∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

引申探究

a·(x2－1)－ax·2x－a(x2＋1)解

f′(x)＝＝2，

(x2－1)2(x－1)2∵a>0，∴f′(x)<0在(－1,1)上恒成立，故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

跟踪训练1

(1)[3，＋∞)

(2)解

(导数法)依题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)．

1＋2mx21对f(x)求导，得f′(x)＝＋2mx＝. xx

当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

当m<0时，令f′(x)＝0，

得x＝

当x∈(0, 1－. 2m1－)时，f′(x)>0，

2m1－)上单调递增；

2m所以f(x)在(0, 当x∈( 1－，＋∞)时，f′(x)<0，

2m1－，＋∞)上单调递减．

2m所以f(x)在( 例3

(1)2 11(2)解

①当a＝时，f(x)＝x＋＋2，

22x1又x∈[1，＋∞)，所以f′(x)＝1－2>0，即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

2x所以f(x)min＝f(1)＝1＋17＋2＝. 2×12a②f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．

x(ⅰ)当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．

最小值为f(1)＝a＋3. 要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，所以－3

x因为x∈[1，＋∞)，所以f′(x)≥0，

即f(x)在[1，＋∞)上为增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝a＋3，

即a＋3>0，a>－3，所以0

跟踪训练2

(1)1

(2)8 (2)解析

方法一

(基本不等式法) x2＋8(x－1)2＋2(x－1)＋9f(x)＝＝

x－1x－19＝(x－1)＋＋2 x－1≥2 9(x－1)·＋2＝8，

x－1

9当且仅当x－1＝，

x－1即x＝4时，f(x)min＝8. 方法二

(导数法) f′(x)＝(x－4)(x＋2)，

(x－1)2令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)．

当1

f(x)在(1,4)上是递减的；

当x>4时，f′(x)>0，

f(x)在(4，＋∞)上是递增的，

所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值，即f(x)min＝f(4)＝8. 例4

b>a>c

1例5

{x|0

(1)[－，0]

(2)[，2) 42跟踪训练3

(1)④

(2)(－∞，－4)