2.2.2 函数的奇偶性教案和课堂实录

函数的奇偶性

授课教师：王孝杰（扬州市江都区丁沟中学）

教材：普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修一，江苏凤凰教育出版社）

教学目标：

1.

知识目标;使学生理解奇函数,偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性；

2.

能力目标:通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；

3.

情感目标:通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质。

教学的重点、难点：

重点是函数的奇偶性的概念,难点是函数奇偶性的判断

教学方法与教学手段：

本节课采用观察,归纳,启发探究相结合的数学方法,运用现代化多媒体教学手段,进行教学活动,首先按照由特殊到一般的认知规律,由形及数,数形结合,通过设置问题引导学生观察分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考,探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解,对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩固,同时设计问题,探究问题,深化对概念的理解。

教学过程：

一、创设情境，引入新课

[设计意图：从生活中的实例出发，从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象．如蜻蜓，蝴蝶是左右对称的（轴对称）。现实生活中有许多以对称形式呈现的事物，如八卦的外形、纸风车，汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体，这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。

提出问题让学生回答：1、中心对称图形的概念（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）；2、轴对称图形的概念（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）。

数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，下面展示的是四个函数的图像，请你说出下面的图像是中心对称图形还是轴对称图形或者两者都不是？

[教学说明：图像（1）、（2）是是以y轴为对称轴的轴对称图形；图像（3）、（4）以坐标原点为对称中心的中心对称图形。下面继续研究具有（1）、（2）、（3）、（4）图像特征的函数] 二、师生互动，探索新知

[设计说明：下列活动，从具体函数入手,学生通过具体的画图像的操作,辩认图像的对称性来判断函数的奇偶性,从感性认识入手比较符合学生的实际,最大限度地使学生能参与到知识的探究中，较多的后进生学习起来就有信心.] 活动1：让学生画出函数f(x)x2的图像，说出图像的特征。

解：（1）列表

x

…

-2 -1 0 1 2 …

y

…

4 1 0 1 4 …

(2)描点（学生完成，教师巡视指导） （3）连线（学生完成）即得到教材P41的图2-2-4（1）。

活动2：活动1给出的函数：f(x)x2，找出当x1与x1时函数图像上的点，看有什么规律？

师生共同完成：当x取1与1（两个互为相反数）时，则对应的函数值f(1)与f(1)都取1，即：f(1)f(1)。同理得：f(2)f(2)。教师提问学生：自变量代入两个互为相反的数：x与x，得到的对应函数值f(x)与f(x)是什么关系？学生：f(x)(x)2x2,f(x)x2，f(x)与f(x)的值相等，即：f(x)f(x)。

[活动2的设计意图：让学生计算相应的函数值，引导学生发现规律，总结规律。然后学生通过观察和运算逐步发现函数具有的特性。通过代入特殊值让学生认识函数的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等的关系，从而自然引入偶函数的概念图像性质。]

引入：概念1：如果对于函数f(x)的定义域（对应的区间关于原点对称）内的任意一个x，都有f(x)f(x)，则称这个函数为偶函数。

1活动3：给出函数：f(x)，引导学生让学生画出图像，说出图像的特征并x借鉴活动一的方法看看有什么规律？教师巡视指导，然后投影展示学生作品并复述规律。

[活动3的设计意图：让学生学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特性。通过代入特殊值让学生认识两个函数各自的对称性的实质;是自变量互为相反数时,函数值互为相反数或相等的关系，从而自然引入奇函数的概念图像性质。通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操,培养学生主动交流的合

作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质] 概念2：如果对于函数f(x)的定义域（对应的区间关于原点对称）内的任意一个x，都有f(x)f(x)，则称这个函数为奇函数。

[教学说明：概念1、2揭示函数是否是奇、偶函数必须具备两个条件：①定义域对应的区间必须关于坐标原点对称的；②若f(x)f(x),则f(x)为奇函数,若f(x)f(x),则f(x)为偶函数。] 从奇函数和偶函数的定义应注意：

1.强调定义中任意二字。说明函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质；

2.具有奇偶性的函数的定义域必须关于原点对称；

3.偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，反之亦然；

4.奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0。

三、拓展延伸

根据下面三个函数的图像，判断函数的奇偶性

[设计意图：通过四个例子，结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生明确函数的奇偶性的几何意义，使学生的感性认识提高到理性认识] 题号反思：试判断函数f(x)一个具有相同奇偶性的函数？

[设计意图：f(x)0既是奇函数又是偶函数,可进一步引导学生探究一个函数既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数,前提是定义域关于原点对称]

四、例题解析

例1 判断下列函数的奇偶性：

x211x2的奇偶性，能不能再举(1)fxx21

(2)fx2x

(4)fxx1

教师选择第（1），（4）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，教师要适时引导学生做好总结归纳。

通过例1解决如下问题

1.根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断(3)fx2x2函数的定义域是否关于原点对称,第二步判断f(x)f(x)还是f(x)f(x)；

2.通过例1中的第(4)题说明有的函数既不是奇函数又不是偶函数；

3.总结:对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函但不是偶函数,是偶函数不是奇函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数。

[设计意图：及时巩固所学的新知，通过例题，使学生在学习新知识的同时能加以应用，使学生体验到学习数学过程中的成就感]

题后反馈：完成教材P43第6题

题后思考：

（1）当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数

（2）当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）是偶函数

五、归纳总结

通过本堂课的探究：（1）你学到了哪些知识？（2）你最深刻的体验是什么？（3）你心里还存在什么疑惑？学生一起回答；从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结，这节课主要学习了函数奇偶性的概念，以及判断函数奇偶性的方法，要注意奇偶函数定义域的特点。

[设计意图：培养学生的归纳概括能力和语言表达能力]

六、作业

（1）课堂作业：完成教材P43的练习题第1,2,3,4题；

（2）课下思考：判断下列函数的奇偶性:

(1) f(x)(x1)1x1x

(2) f(x)1x2x21

[设计意图：面向全体学生，注重个体差异，加强作业的针对性，通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并在课下为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会，进一步的达到使不同的学生得到不同的提高]

七、教学设计说明：

本节课采用观察,归纳,启发探究相结合的数学方法,运用现代化多媒体教学手段,进行教学活动,首先按照由特殊到一般的认知规律,由形及数,数形结合,通过设置问题引导学生观察分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考,探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解,对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩固,同时设计问题,探究问题,深化对概念的理解。

一、教学目标设置方面

设置三维教学目标，注重学生的认知培养和情感发展. 二、教学过程方面

1、创设问题情境是激发学习兴趣的有效途径,问题的设置有利于学生从多个角度进行思考和探究,培养学生的发散思维,第一个问题的解决就体现了二元二次方程的研究,为利用方程研究几何性质打下基础.

2、辨析过程中重视学生的思维起点,通过彼此交流,发现问题,共同探讨,得到统一的认知.

3、整个教学过程中抓住函数的奇偶性的定义不放松,引导学生探究如何利用数形结合方法研究函数的奇偶性的性质,在学生表述过程中,重视学生的思维方式,培养学生正确处理问题的思路,引导学生反思,深化知识的形成过程,完善认知结构,掌握研究的方法和思路,拓宽思维角度,提高思维层次.

4、围绕本节课重难点设置例题与练习，题目难度不大，便于对知识的理解和巩固,思考题是本节课研究方法的延伸,也是一种更深层次的体验.

5、反思总结用问题给出，由学生自主概括回答，培养学生多质疑，多反思，多总结的好习惯.