2.1.1 函数的概念和图象教案（名师）

函数的值域

【学习目标】

1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、图像法、部分分式法、判别式法）

2．掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法．

【质疑探究

成果展示】

一．建构数学：

1．直接法：利用常见函数的值域来求．

例1 求下列函数的值域：

①

y=3x+2

(-1x1)

②f(x)24x

③yxx1

④yx1x

解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ．

②∵4x[0,)

∴f(x)[2,)

即函数f(x)24x的值域是

{ y| y2} 2．二次函数闭区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值．最小值与值域：

①yx24x1；

②yx24x1,x[3,4]；

③yx24x1,x[0,1]；

④yx24x1,x[0,5]．

y解：∵yx24x1(x2)23，∴顶点为(2,-3)，顶点横32①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

1-2-1O∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }. -1123456x-2②∵顶点横坐标2[3,4]，如图，当x=3时，y= -2；x=4-3∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2

[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1]. 坐标为2.

时，y=1；

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④∵顶点横坐标2

[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=－3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，ymin=－3，ymax=6；值域为[-3，6]. 3．换元法

例3 求函数y2x41x的值域．

解：设

t1x

则

t0

x=1t

代入得

yf (t)2(1t2)4t2t24t22(t1)24

∵t0

∴y4 【变式】

求y＝2x－3＋4x－13 的值域．

分析：函数问题，应优先考虑函数的定义域，再求其值域. t2＋1313解：∵4x－13≥0

∴x∈[4

，＋∞）

令t＝4x－13 则得：x＝4

171∴y＝2

t2＋t＋2

∴y＝2

（t＋1）2＋3 137∵x≥4

∴t≥0根据二次函数图象可得y∈[2

，＋∞）

4．图像法：

例4．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域．

y22x1(x1)解法1：将函数化为分段函数形式：y3(1x2)，

2x1(x2)画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}. 3-1O2x解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+.

如图

x-1O12-1Ox12

-1O12x

【变式1】求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域. 【思路分析】对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3，

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－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3，

所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3] ．

【变式2】求下列函数的值域：

（1）y＝11x2＋2x＋3

；（2）y＝x2＋2x－3

5．分离常数法：

例5 求下列函数的值域：

（1）y＝2x－41－xx＋1

；（2）y＝2x＋5

解：（1）∵y＝2（x＋1）－66x＋1

＝2－x＋1

∴函数的值域为{ y︱y≠2} 7（2）∵y＝－12

2

＋2x＋5

72

∵2x＋5

≠0

∴y≠－12

∴函数y的值域为y∈（－∞，－1

）∪（－122

，＋∞）

6．判别式法（△法）：

例6 求函数y=x2x1x2x1值域．

解：∵x2x1(x1)2343240，

∴函数的定义域R，原式可化为y(x2x1)x2x1, 整理得(y1)x2(y1)xy10，

若y=1,即2x=0,则x=0；

若y1,∵xR，即有0，

∴(y1)2-4(y-1)20,解得13y3且

y1.

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综上：函数是值域是{y|13y3}. 【变式1】求函数yx25x6x2x6的值域．

方法一：去分母得

(y1)x2+(y+5)x6y6=0

①

当

y1时

∵xR

∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0由此得

(5y+1)20 y15检验

15

时

x52（代入①求根）

2(65)∵2 

定义域

{ x| x2且

x3}

∴y15

再检验

y=1 代入①求得

x=2

∴y1 综上所述，函数yx25x61x2x6的值域为

{ y| y1且

y5} 方法二：把已知函数化为函数y(x2)(x3)x36(x2)(x3)x31x3

(x2)

，

由此可得

y1

∵

x=2时

y15

即

y15，

∴函数yx25x61x2x6的值域为

{ y| y1且

y5} 【变式2】求函数y＝x2－2x－32x2＋2x＋1

的值域. y＝x2解：由－2x－32x2＋2x＋1

得x∈R且可化为：

（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0，

∴当y≠12

时，Δ＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0，

∴y2＋3y－4≤0，

∴－4≤y≤1且y≠12

，

又当y＝1＋1172

时，2（12

）x＋（2

＋3）＝0得：x＝－6

，满足条件．

∴函数的值域为y∈[－4，1]．

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三．理解数学：

1．

求函数yx21x29(x0)的值域．

解：∵x0，yx21x29(x1x)211，∴y11. 【说明】此题以后利用基本不等式解更简捷：yx21x292911．

2．求函数y52x24x3的值域．

解：∵2x2-4x+3>0恒成立(为什么？)，

∴函数的定义域为R，

∴原函数可化为2yx2-4yx+3y-5=0，由判别式0，

即16y2-4×2y(3y-5)=-8y2+40y0(y0), 解得0y5，又∵y0, ∴0

求函数的值域：

①yx2x；

②y24xx2

解：①令u2x0,则x2u2, 原式可化为y2u2u(u1292)4, ∵u0，∴y94，∴函数的值域是（-，94]. ②解：令

t=4xx20 得

0x4

在此区间内

(4xx2)max=4

，(4xx2)min

=0 ∴函数y24xx2的值域是{ y|－2y2}．

【检测反馈】

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1．求函数y＝x2在下列范围内的值域：

（1）x∈[1，2]

（2）x∈[－1，2]

（3）x∈[－3，2] （4）x∈[a，2]

（5）x∈[T，T＋2] 2．求函数y＝1x

（x≠0）在下列定义域范围内的值域：

（1）x∈（1，2）；（2）x∈（0，2）；（3）x∈（－1，2）；

（4）x∈（2，+∞）；（5）x∈（－2，+∞）

．求函数y＝3x23－1x2＋2

的值域. y＝3x2解：由－1x2＋2

可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1

即（3－y）x2＝2y＋1 若y＝3时，则有0＝7，这是不可能的.∴y≠3 由x2＝2y＋13－y

∵x2≥0

∴2y＋13－y

≥0 解得：－12

≤y＜3 ∴函数值域为y∈[－12

，3）．

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