习题1.2公开课教案

第1课时

圆的极坐标方程

学习目标

1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．

知识点一

曲线的极坐标方程

(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤

①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；

②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；

③将列出的关系式整理、化简；

④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．

知识点二

圆的极坐标方程

思考1

在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？

答案

不一定．

思考2

圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？

答案

ρ＝2. 梳理

圆的极坐标方程

圆心位置

圆心在极点(0,0)

极坐标方程

ρ＝r

(0≤θ<2π)

ρ＝2rcos_θ

圆心在点(r,0)

图形

－π≤θ<π

22

π圆心在点(r，)

2ρ＝2rsin_θ

(0≤θ<π)

ρ＝－2rcos_θ

圆心在点(r，π)

π3π(≤θ<)

22ρ＝－2rsin_θ

(－π<θ≤0)

3π圆心在点(r，)

2

类型一

求圆的极坐标方程

例1

求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．

解

在圆周上任取一点P(如图)，

设其极坐标为(ρ，θ)，

由余弦定理知，

CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，

故其极坐标方程为

2r2＝ρ20＋ρ－2ρρ0cos(θ－θ0)．

引申探究

若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程．

解

设P(ρ，θ)为圆上任意一点，

则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，

∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，

即ρ2＝6ρcos θ－5. 反思与感悟

求圆的极坐标方程的步骤

(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)．

(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简．

(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．

3π5π跟踪训练1

求圆心在C(2，)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin )是26否在这个圆上．

解

如图，

由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA. 在Rt△OAM中，

3π|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos (－θ)，

23π∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O(0,0)，A(4，)的坐标满足上式．

2∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin 5π1＝，

625π＝－2，

6∴ρ＝－4sin θ＝－4sin ∴点(－2，sin 5π)在此圆上．

6类型二

极坐标方程与直角坐标方程的互化

命题角度1

直角坐标方程化极坐标方程

例2

把下列直角坐标方程化为极坐标方程．

(1)x2＋y2＝1；

(2)x2＋y2－4x＋4＝0；

(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0. x＝ρcos θ，解

把代入方程化简，

y＝ρsin θ

(1)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1，

∴ρ2＝1，即ρ＝1. (2)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0，

∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0. (3)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0. ∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，

π∴ρ2－22ρsin(θ＋)－2＝0. 4反思与感悟

在进行两种坐标方程间的互化时，要注意

(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．

(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值．

跟踪训练2

把下列直角坐标方程化为极坐标方程．

(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0. 解

(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，

得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，

化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0，

得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0，

化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. 命题角度2

极坐标方程化直角坐标方程

例3

把下列极坐标方程化为直角坐标方程．

ππ2(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－)；(3)ρcos(θ＋)＝；

442(4)ρ＝1. 2－cos θ解

(1)∵ρ2cos 2θ＝1，

∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，

∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1. ππ(2)∵ρ＝2cos θcos ＋2sin θsin

44＝2cos θ＋2sin θ，

∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，

∴化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0. π2(3)∵ρcos(θ＋)＝，

42ππ2∴ρ(cos θ·cos －sin θ·sin )＝，

442∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

∴x－y－1＝0.

1(4)∵ρ＝，

2－cos θ∴2ρ－ρcos θ＝1，

∴2x2＋y2－x＝1.化简，

得3x2＋4y2－2x－1＝0. 反思与感悟

由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．

跟踪训练3

把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．

(1)x2＋y2－2x＝0；

(2)ρ＝cos θ－2sin θ；

(3)ρ2＝cos2θ. 解

(1)∵x2＋y2－2x＝0，

∴ρ2－2ρcos θ＝0. ∴ρ＝2cos θ. (2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，

∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. ∴x2＋y2＝x－2y，

即x2＋y2－x＋2y＝0. (3)∵ρ2＝cos2

θ，

∴ρ4＝ρ2cos2

θ＝(ρcos θ)2. ∴(x2＋y2)2＝x2，

即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x. 类型三

直角坐标与极坐标方程互化的应用

例4

若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

π(2)若曲线ρsin(θ－)＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|的值．

4x＝ρcos θ，解

(1)∵

y＝ρsin θ，

∴ρ2＝x2＋y2，

由ρ＝2sin θ＋4cos θ，

得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，

∴x2＋y2－4x－2y＝0，

即(x－2)2＋(y－1)2＝5.

π(2)由ρsin(θ－)＝0，

4得ρ(22sin θ－cos θ)＝0，

22即ρsin θ－ρcos θ＝0，

∴x－y＝0. |2－1|由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝5，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝21，

2∴|AB|＝2r2－d2＝32. 反思与感悟

在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．

跟踪训练4

在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2

θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．

答案

(1,1)

1．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是(

) A．3

B.2

C．1

D.答案

D 2．将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为(

) A．x2＋y2＝0或y＝1

C．x2＋y2＝0或x＝1

答案

B 3．在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是(

) ππA．(1，π)

B．(2，)

C．(1，)

D．(1,0) 22答案

C 解析

由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，π圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，)．

2θ4．4ρsin2 ＝5表示的曲线是(

) 2A．圆

B．椭圆

B．x＝1 D．y＝1 2

2

C．双曲线的一支

答案

D D．抛物线

1－cos θθ解析

4ρsin2 ＝5⇒4ρ＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.∵ρ＝x2＋y2，ρcos θ＝x，

2225代入上式得2x2＋y2＝2x＋5，两边平方并整理，得y2＝5x＋，∴它表示的曲线为抛物线．

4π5．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C(2，)，半径为1，求圆C的极坐标方程．

6解

在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，

由余弦定理可得CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，

π即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos(θ－)，

6π化简可得ρ2－4ρcos(θ－)＋3＝0. 6当O，P，C共线时，此方程也成立，

π故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－)＋3＝0. 6

1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别

由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，πππππππ5πππ，可以表示为，＋2π或，－2π或－，等多种形式，其中，只有，点M4444444444的极坐标满足方程ρ＝θ. 2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．

课时作业

一、选择题

1．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是(

) A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆

B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆

C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆

πD．以点(3，)为圆心，3为半径的圆

2

答案

C 2．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(

) πA．ρ＝2cos(θ－)

4C．ρ＝2cos(θ－1)

答案

C 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为(

) A．一条射线和一个圆

C．一条直线和一个圆

答案

C π4．极坐标系内，点(1，)到直线ρcos θ＝2的距离是(

) 2A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 5．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是(

) 1πA．(，)

231πC．(，－)

23答案

D 二、填空题

6．把圆的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．

答案

ρ＝4sin θ

解析

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. 7．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．

答案

x2＋y2－3y＝0 解析

由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，

故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0. 8．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|＝________. 答案

23 解析

由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±3，则|AB|＝23. 9．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________. 12πB．(－，) 2312πD．(，－) 23B．两条直线

D．一个圆

πB．ρ＝2sin(θ－) 4D．ρ＝2sin(θ－1)

答案

2

2解析

曲线C1的直角坐标方程为2x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为(三、解答题

OP210．从极点O引定圆ρ＝2cos θ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说PQ3明所求轨迹是什么图形？

ρ02解

设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，＝，

ρ－ρ032∴ρ0＝ρ. 52∵ρ0＝2cos θ0，∴ρ＝2cos θ，

5即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．

11．若圆C的方程是ρ＝2asin θ，求：

(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程；

3π(2)关于直线θ＝对称的圆的极坐标方程．

4解

设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)．

(1)点M(ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)，

代入圆C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin(－θ)，

即ρ＝－2asin θ为所求．

3π3π(2)点M(ρ，θ)关于直线θ＝对称的点为(ρ，－θ)，

423π代入圆C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin (－θ)，

2即ρ＝－2acos θ为所求．

12．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．

(1)ρ＝4cos θ＋2sin θ；

(2)ρ2＝20. 4cos

θ＋5sin2

θ222，0)，此点也在曲线C2上，代入解得a＝. 22解

(1)方程ρ＝4cos θ＋2sin θ两边同时乘以ρ，并把ρ＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入，化简可得(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)ρ2＝20222可化为4(ρcos θ)＋5(ρsin θ)＝20，把ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入，化简4cos

θ＋5sin

θ2x2y2可得＋＝1. 54

四、探究与拓展

π13．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsin(θ－)－4＝0，则圆C的半径及圆心坐标分别为4____________．

答案

7π2，

6，4解析

以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ(化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6. 圆心C的直角坐标为(1，－1)，

∴ρ＝x2＋y2＝2，tan θ＝－1，且C在第四象限．

7π∴θ＝，

4∴C的极坐标为(2，7π)．

422sin θ－cos θ)－4＝0，

2214．判断两圆ρ＝cos θ＋3sin θ和ρ＝2cos θ的位置关系．

13解

圆C1：ρ＝cos

θ＋3sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－x－3y＝0，即(x－)2＋(y－)222＝1. 13∴C1(，)，r1＝1. 22同理，圆C2：ρ＝2cos θ的直角坐标为(x－1)2＋y2＝1，

∴C2(1,0)，r2＝1，∴|C1C2|＝1，

∴r1－r2<|C1C2|