阅读与思考 集合中元素的个数板书设计及意图

16.1.2分式的基本性质

学习目标：1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形. 学习重点：理解分式的基本性质. 难点：灵活应用分式的基本性质将分式变形. 教学过程：

一、学前准备：

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4, 7 ,

9y, m4, 8y3，1

xx9520y22. 当x取何值时，下列分式有意义？

x53 （1） （2） （3）

2x5

x232xx243. 当x为何值时，分式的值为0？

（1）2x1x77x（2）（3）

2xx3x213x4、当x取何值时，分式无意义？

5、

当x为何值时，分式的值为0？

二、探究新知：

x213x2x1x2x315931．请同学们考虑：4 与 20相等吗？ 与 相等吗？为什么？

248

915332．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？ 420824 3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.

上述性质可以用式子表示为

三、例题讲练

例2填空：

x3x23xyxy（1）2=

x2xx26x2（2）ab2ab2

2（b≠0）

2ababaab约分

最简分式

例3

约分

25a2bc3x296x212xy6y2（1）

（2）2

（3）

215abcx6x93x3y例4

通分

（1）3ab2x3x与

（2）与

22x5x52ababc练习

1、

约分

2bc(xy)yx2xyx2y2（1）

（2）

（3）

（4）

acxy2(xy)2(xy)25x9ab26abc9a26abb2x236（5）

（6）

(7)

(8)

25x23ab2x123a2b2、

通分

（1）2c3acxy2xyxxy与2

（2）与

（3）与

2222bd4b2x2y(xy)(xy)xy2mn2m36ccx3x与

(5)与

（6）与

4m292m3a2b3ab23y2y2（4）四、课堂小结

1、

本节课你的收获是什么？

2、应用约分、通分应注意什么？

3、你对自己在本节课的表现评价（优、良、一般、差）

五、目标检测

1．填空：

2x26a3b23a3(1) 2= (2) = 3x3x3x8bb1x2y2xy（3) = (4) =

2acancnxy2．约分：

3a2b8m2n2(xy)34x2yz3（1） （2） （3） （4）

2252mn6abcyx16xyz 3．通分：

（1）（3）1b2a和 （2）和 2ab34a2b2c2xy3x23ca11和 （4）和

222ab8bcy1y14．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. x3ya35a(ab)2(1)  (2)  （3）

(4)

222m13x3ab17b5、判断下列约分是否正确：

（1）acamn1xy= （2）2=（3）=0 bcbmnxy2xy 12x1x1和 （2）和3ab27a2bx2xx2x

6、通分： （1）

16．2分式的运算

16．2．1分式的乘除(一) 一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 二、重点、难点

1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 3. 难点与突破方法

分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往经过转化后往往可视为整式的运算.分式的乘除的法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，教给学生类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取知识.教师要重点处理分式中有别于分数运算的有关内容，使学生规范掌握，特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实. 三、例、习题的意图分析

1．P10本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是vmab，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.abnmn引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间. 2．P11例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简. 3．P11例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分. 4．P12例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)=a-2a+1

四、课堂引入

1.出示P10本节的引入的问题1求容积的高率的22222vm，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效abnab倍. mn[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则. 1．

P10观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则. 3．[提问] P10[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？

类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.

五、例题讲解

P11例1. [分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果. P11例2. [分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.

P12例3. [分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是500、500，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此a21a12(a-1)=a-2a+1

计算

22222c2a2b2n24m2 （3）y2 （1） （2）abc2m5n37xx222 （4）-8xy2y (5)2a42a1 (6)y6y9(3y) 5xa2a1a4a4y2七、课后练习

计算

1 （2）5b10bc （3）12xy8x2y （1）x2y32xy3ac21a5a222（4）a4bab （5）xx(4x) （6）42(x2y2)x2 a2b3ab2x1x35(yx)3八、作业设计

习题16.2第1题、第10题：

另选做课堂“七、课后练习”

16．2．1分式的乘除(二)

一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 3．认知难点与突破方法：

紧紧抓住分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算这一点，然后利用上节课分式乘法运算的基础，达到熟练地进行分式乘除法的混合运算的目的.课堂练习以学生自己讨论为主，教师可组织学生对所做的题目作自我评价，关键是点拨运算符号问题、变号法则. 三、例、习题的意图分析

1． P13页例4是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式. 教材P13例4只把运算统一乘法，而没有把25x-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点. 2， P13页例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题. 四、课堂引入

计算

（1）yx(y) (2) 3x(3x)(1) xyx4yy2x2

五、例题讲解

（P13）例4.计算

[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的. （补充）例.计算 3ab28xy3x(1)3(2) 2xy9ab(4b)3ab28xy4b=3(2) (先把除法统一成乘法运算) 2xy9ab3x3ab28xy4b=32 （判断运算的符号）

2xy9ab3x16b2= （约分到最简分式）

39ax2x6(x3)(x2)(x3) (2)

23x44x4x2x61(x3)(x2)= (先把除法统一成乘法运算) 23x44x4xx32(x3)1(x3)(x2)= (分子、分母中的多项式分解因式) 23x(2x)x3=2(x3)1(x3)(x2) 2(x3)(x2)x32

x2=六、随堂练习

计算

3b2bc2a5c20c3622() （2）24(6abc)(1)

31016a2ab2ab30abx22xyy2xy3(xy)2924（3） （4）(xyx)2

(xy)3xyyxx(yx)七、课后练习

计算

a26a93aa23xx2y(1)8xy

() (2)2b3a94b26z4y624y24y41126yx2xyxy(3) (4)

(xy)2222y6y39yxxyyxy八、作业设计

习题16.2第2题、第11题：

另选做课堂“七、课后练习”

16．2．1分式的乘除(三) 一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.

二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘方的运算. 2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 3．认知难点与突破方法

a2aaaaa2

讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算

()===，bbbbb2ba3aaaaaaa3()===3，……

bbbbbbbb顺其自然地推导可得：

n个

n个

anaaaaaaananan()===，即()=n. （n为正整数）

bbbbbbbnbbb

n个

n个

归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 三、例、习题的意图分析

1． P14例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判

断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.. 2．教材P14例5中象第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好. 分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.

四、课堂引入

计算下列各题：

a2abba4a（3）()=bb（1）()=aa3aaa=（ ） (2) ()==（ ） bbbbbaaa=（ ） bbban[提问]由以上计算的结果你能推出()（n为正整数）的结果吗？

b五、例题讲解

（P14）例5.计算

[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 六、随堂练习

1．判断下列各式是否成立，并改正. 3b29b2b32b5)=（1）()= （2）( 2a2a2a24a22y38y33x29x2)=3 （4）()=2（3）(

23xxbxb9x2．计算

3a2b35x22a32ay3)(1) ( （3）) （2）(()() 3222c3y3xy2xx2y3x32x2y2)() 5)()()(xy4)

（4）(2zzyx (6)(y23x3x2)()3()

2x2y2ay

七、课后练习计算

2b23a22(1) (3) (2) (n1)

abab2a3c32c42a4)()(a2b2)

(3)(2)(3)() (4)

(abbacabab八、作业设计

习题16.2第3题、第12题：

另选做课堂“七、课后练习”

16．2．2分式的加减（一）

一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.

（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、例、习题的意图分析

1． P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的11.这样nn3引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算. 2． P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则. 3．P20例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；

第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则. （4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1, R2, …, Rn的关系为1111.若知道这个公式，就比较容易地用含有R1的式子表示R2，列出11RR1R2RnRR11，R150下面的计算就是异分母的分式加法的运算了，得到12R150，再利用倒数的概念得到R的结果.这道RR1(R150)题的数学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.

四、课堂堂引入

1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.

引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算. 2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？

3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？

4．请同学们说出五、例题讲解

（P20）例6.计算

[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积. （补充）例.计算

（1）111的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？

,,234222xy3xy9xyx3yx2y2x3y

x2y2x2y2x2y2

[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：x3yx2y2x3y 222222xyxyxy(x3y)(x2y)(2x3y)

22xy2x2y

22xy2(xy)

(xy)(xy)2

xy11x62

x362xx9====(2)[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 解：11x611x62=

x362xx9x32(x3)(x3)(x3)x32(x3)(1x)(x3)12(x26x9)(x3)2====

2x62(x3)(x3)2(x3)(x3)2(x3)(x3)六、随堂练习

计算

3a2babbam2nn2m （2）

222nmmnnm5ab5ab5ab163a6b5a6b4a5b7a8b2（3） （4）

a3a9abababab(1)八、作业设计

习题16.2第4题、第5题：

另选做第15题、第16题

16．2．2分式的加减（二）

一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 三、例、习题的意图分析

1． P21例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式. 例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算. 2． P22页练习1：写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

四、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序. 2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 五、例题讲解

（P21）例8.计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. （补充）计算

（1）(x2x14x)

xx22xx24x4[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解：

(x2x14x)

22xx2xx4x4x2x1x=[

]2x(x2)(x2)(x4)=[(x2)(x2)x(x1)x]

22(x4)x(x2)x(x2)x24x2xx=

2(x4)x(x2)=1

x24x42xyx4yx2（2）

4242xyxyxyxy

[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边. xyx4yx2解：

xyxyx4y4x2y2xyx4yx2y2=

22222xyxy(xy)(xy)xxy2x2y=

(xy)(xy)x2y2=22xy(yx)

(xy)(xy)xy

xy=六、随堂练习

计算

ab11x24x2)()

)(1) ( （2）(abbaabx22x2x312212)() （3）(a2a4a2a2

七、课后练习

1．计算

(1) (1(2) (yx)(1) xyxya2a1a24a)2

22aa2aa4a4a111xy(3) () xyzxyyzzx2．计算(114)2，并求出当a-1的值.

a2a2a八、作业设计

习题16.2第6题、第13题：

另选做课堂“七、课后练习”