信息技术应用 收集数据并建立函数模型说课稿【一等奖】

教学课题：信息技术应用

收集数据并建立函数模型

教学任务分析

1.培养学生阅读图形、表格的能力；让学生熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。

2.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型，解决

实际问题。

3.强化一次函数、二次函数在实际问题中的应用。

4.让学生充分体会解决实际问题中建立函数模型的过程。

教学重点与难点

重点：如何结合题意，利用函数模型解决实际问题

难点：如何才能准确提取题目的数据，建立相应的函数模型

函教学方法：导学法

教学过程：

一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型（常常是函数模型）并借助图

象和性质来进行研究的，研究结果再应用于实践。

1．数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解。

2．其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。

3．最后，当然需要有较强的运算能力。

二、例一

（课本P90）有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形

状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周长y

与腰长x间的函数式，并写出它的定义域。

分析：关键是用半径R与腰长x表示上底

D

由对称性：CD=AB2AE 因此只要求AE

解：设腰长AD=BC=x 作DEAB 垂足为E 连结BD x

A

E

2R

则

ADB=90 由此：Rt△ADE∽Rt△ABD

x2x2 ∴ADAEAB AE ∴CDAB2AE2R

R2R2C x B x2x22x4R

∴周长y2R2x(2R)RR ∵ABCD是圆内接梯形 ∴AD0,AE0,CD0

x0x20x|0x2R

Rx22R0R《课课练》

P98

3

—此题作为作业

例二

如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x

1．

写出AP+2PM关于x的函数关系式

2．求此函数的最值

解：1．过P作PDAB于D，连PB 设AD=a则x22Ra

x2x2 a PM2R

2R2Rx2 ∴f(x)AP2PMx4R RP

(0x2R)

2．f(x) 当x1R17R

(x)2R24A

D

O

R17时f(x)maxR 当x2R时f(x)min2R

42

例三

《教学与测试》34课

例一

（P69）

距离船只AE 的正北

方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿

北偏西60角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度

向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相

距最近？

D

解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20 BC=100-15t

过D作DEBC于E DE=BDsin60=103t BE=BDcos60=10t

∴EC=BC+BE=100-5t CD=DE2CE2103t1005t2=325t21000t10000

∴t=32020时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。

131313C A 2例四．

某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润。

解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则

y=(x-8)[60-(x-10)10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160 (x>10) 当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元。

例五、某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或yabxc(a,b,c为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。

解：设二次函数为：

ypx2qxr

pqr1p0.05

由已知得：4p2qr1.2q0.35

9p3qr1.3r0.7

∴y0.05x20.35x0.7

当

x = 4时，y10.05420.3540.71.3

又对于函数

yabxc

abc1a0.81

由已知得：ab2c1.2b0.5

∴y0.8()x1.4

2ab3c1.3c1.41

当

x = 4时，y20.8()41.41.35

2

由四月份的实际产量为1.37万件,

|y21.37|0.020.07|y11.37|

1

∴选用函数y0.8()x1.4

作模拟函数较好。

2

例六、（《教学与测试》

P69 第34课）

已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为

正常数。

11．当m时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

2

2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。

解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。

由题设：当价格上涨x%时，销售总额为ya(1x%)b(1mx%)

ab[mx2100(1m)x10000]

即

y100001ab[(x50)222500]

取m得：y2200009

当

x = 50时，ymaxab

8

即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。

ab[mx2100(1m)x10000]

2．∵二次函数y1000050(1m)50(1m)]上递增，在[,)上递减

在

(x,mm50(1m)0

∴适当地涨价，即

x > 0 , 即m

就是

0 < m <1 ,

能使销售总金额增加。

三、作业：《教学与测试》

P70 第7题

P100

1，2

P101

7，8 强化训练

一、选择题

1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是(

)．

A．x2＋x－3＝0

C．

B．1＋1＝0 x1x＋ln x＝0

2D．x2－lg x＝0 2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)＜0的x的取值范围是(

)．

A．(－∞，－2］ C．(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2，2)

3. 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是(

)．

A．{a|a＞1}

B．{a|a≥2} D．{a|1＜a＜2}

C．{a|0＜a＜1}

4．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则下列命题正确的是(

)．

A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点

B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点

C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点

D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点

x2＋2x－3，x≤

05.

函数f(x)＝的零点个数为(

).

－2＋lnx，x＞0 A．0

B．1

C．2

D．3 6. 图中的图象所表示的函数的解析式为(

).

A．y＝B．y＝C．y＝3|x－1|(0≤x≤2)

233－|x－1|(0≤x≤2)

223－|x－1|(0≤x≤2) 2D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)

7．当x∈(2，4)时，下列关系正确的是(

)．

A．x2＜2x

B．log2

x＜x2

C．log2

x＜1

x

D．2x＜log2

x

8．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到(

)．

A．300只

B．400只

C．500只

D．600只

9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低(

)元．

A．2元

B．2.5元

C．1元

D．1.5元

10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进(

)份晚报．

A．250

二、填空题

B．400

C．300

D．350

11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是

．

12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长

米，宽

米. 13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x(0＜x≤40)(克)的函数，其表达式为

．

14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小1物释放完毕后，y与t的函数关系式为y16ta毒．已知药物释时)成正比；药如图所示，根据(a为常数)，图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)之间的函数关系式为

. (第14题)

与时间t(小时)(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过

小时后，学生才能回到教室.

15．已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围

．

16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影面积为的函数表达式为

．

三、解答题

17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满.

公司点，过点M的y，y表示成x欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间.

若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．

(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？

(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：

时间t

成本Q

50 110 250 150 108 150 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logb t；

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小? 参考答案

一、选择题

1．C 解析：易知A，B，D选项对应的函数在区间(0，1)内的函数值恒为负或恒为正，当x是接近0的正数时，11x＋lnx＜0；当x接近1时，x＋lnx＞0. 所以选C．

222．D 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2，则另一个零点为－2，又在(－∞，0］上是减函数，则f(x)＜0的x的取值范围是(－2，2)．

3．A 解析：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a1)有两个零点，

就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.

4．D 解析：因为f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x轴相交有多种可能．例如，

4题)

所以函数f(x)必在区间(0，(4第)内有零点，正确选项为D．

5. C 解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0解得x＝－3；

当x＞0时，令－2＋ln x＝0，得x＝100，所以已知函数有两个零点，选C．

还可以作出f(x)的图象，依图判断．

6. B 解析：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝据此否C，故正确选项是B. 或者勾画选项B的函数图象亦可判断．

7．B 解析：当x∈(2，4)时，x2∈(4，16)，2x∈(4，16)，log2

x∈(1，2)，3，据此否定A，D，在取x＝0，

由图象知y＝f(0)＝0，2111

，显然C、D不正∈，x42确，但对于选项A，若x＝3时，x2＝9＞23＝8，故A也不正确，只有选项B正确．

8．A 解析：由题意知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100 log2(7＋1)＝100×3＝300．

9．D 解析：设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)．

经济效益：y＝(4－0.1x)(1 000＋100x)

＝－10x2＋300x＋4 000 ＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000 ＝－10(x－15)2＋6 250．

x＝15时，ymax＝6 250．

每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．

10．B 解析：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润．

设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得

y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］．

∵

函数y在［250，400］上单调递增，∴

x＝400时，ymax＝825(元)．

即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

二、填空题

11．参考答案：(－∞，－1)．

解析：函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求实数a的取值范围是(－∞，－1)．

12．参考答案：长宽分别为25米．

解析：设矩形长x米，则宽为1(100－2x)＝(50－x)米，所以矩形面积y＝x(50－x)＝－x2＋50 x＝－2(x－25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．

20) 80 (0＜x≤ 13．参考答案：f(x)＝

160 (20＜x≤ 40)解析：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．

(0≤ t≤ 0.1)10t t0.114．参考答案：(1) y＝1；

(2)0.6．

(t＞0.1) 16解析：(1)据图象0≤t≤0.1时，正比例函数y＝kt图象过点(0.1，1)，所以，k＝10，

1即y＝10t；当t＞0.1时，y与t的函数y＝1611＝160.1ata(a为常数)的图像过点(0.1，1)，即得

1，所以a＝0.1，即y＝16t0.1t0.1．

1(2)依题意得16≤0.25，再由y＝lg x是增函数，得(t－0.1)lg111≤lg，∵

lg＜0，即得t－16440.1≥0.5，所以，t≥0.6．

15．参考答案：－1＜m＜5．

4x2－1，x≥1 解析：由f(x)＝(x＋1)｜x－1｜＝

1－x2，x＜1 得函数y＝f(x)的图象(如图)．

按题意，直线y＝x＋m与曲线y＝(x＋1)|x－1|有三个点，求直线y＝x＋m在y轴上的截距m的取值范围．

y＝1－x2，

由

得x2＋x＋m－1＝0．

y＝x＋m

不同的公共5Δ＝1－4(m－1)＝5－4m，由Δ＝0，得m＝，易4取值范围是－1＜m＜(第15题)

得实数m的5．

432x (0＜x≤ a)

216．参考答案：y＝

3－x2＋23ax－3a2

(a＜x≤ 2a)2解析：当直线l平移过程中，分过AB中点前、后两段建立y与x的函数表达式．

(1)当0＜x≤a时，y＝321x·3x＝

x；

223211·2a·3a－(2a－x)·3(2a－x)＝－x＋23ax－3a2．

222(2)当a＜x≤2a时，y＝

32x (0＜x≤ a)

2所以，y＝

3－x2＋23ax－3a2

(a＜x≤ 2a)2三、解答题

17．参考答案：每间客房日租金提高到40元．

解析：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，

由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30．

设客房租金总收入y元，y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2 ＋8 000(0＜x＜30)，

当x＝10时，ymax＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元. 18．参考答案：设从B市调运x(0≤x≤6)台到C市，则总运费

y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800［8－(6－x)］＝200x＋8 600(0≤x≤6)．

(1)若200x＋8 600≤9 000，则x≤2．

所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案．

(2)由y＝200x＋8 600(0≤x≤6)可知，当x＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．

19．参考答案：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logb t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．

把表格提供的三对数据代入该解析式得到：

2

500a50bc15012

100a110bc108

解得a＝62

500a250bc1501200，b＝－32，c＝42521．

所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝3200t2－32t＋4252．

－(2)当t＝－212002＝150天时，西红柿种植成本Q最低为

120032Q＝×1502－×150＋4252＝100(元/100 kg)．

20．参考答案：高为88 cm，宽为55 cm．

解析：设画面高为x cm，宽为λx cm，λx2＝4 840，设纸张面积为S，有

S＝(x＋16)(

λx＋10)＝λx2＋(16 λ＋10)x＋160，

将λ＝164848824 840代入上式可得，S＝10(x＋)＋5 000＝10(－)＋6 760，

xxx2x88x所以，x＝，即x＝88 cm时，宽为λx＝55 cm，所用纸张面积最小．

函数模型及其应用