阅读与思考 集合中元素的个数教学设计及教案分析

《韦达定理及其应用》教学设计

设计者：海口二中 庞桔云

一.教材分析

《韦达定理及其应用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初中学过的二次项系数为1时根与系数的关系的基础上进行的，教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

二.学情分析

本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教学中应多类比初中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：

三.教学目标

知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决 各类数学问题。

过程与方法：经历观察——转化——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握从特殊到一般的转化思想。

情感态度与价值观：激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神.

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四.教学重、难点

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。

五.教学策略与手段

教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学方法. 教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.

六.教学过程

教学

环节

创温

设故

情引

境新

【问题】

【复习】如果方程x+px+q=0的两根2教学过程预设

师生互动

设计意图

学生用已学知识轻巩固旧知同时又为新知埋下伏笔.

是x1

，x2，那么根与系数的关系是：松的回答问题. x1+x2=

, x1x2=

教师---提出问题，引导学生在已有的知识一元二次方程引导学生思考。

基础上在进行深入思考，给学生创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，从而激发学生的求知欲，积极主动地探索新知.

如2果那ax＋bx＋c＝0(a0)的根是x1、x2，么x1＋x2与x1x2与方程的二次项系数ａ、一次项系数ｂ、常数项ｃ有什么联系？

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自合

主作

学探

习究

【探索】

先把ax2＋bx＋c＝0(a0)转化

为a=1

动手：学生在教师的提示下，自主动

1、本设计采用“观察——发现——转化——类比”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。

的方程

手积极思考，并合

作、交流成果

再根据a=1根与系数的关系得

x1+x2=

,

x1x2=

【类比归纳】韦达定理：

一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax＋bx＋c＝0(a0)的两个根2教师----板书

学生----加深对两个关系的记忆和理

提出推论1的意图是让x1、x2那么x1＋x2=

，x1x2=

.解，做好笔记.

学生：寻找新旧知类

得

这个关系通常叫做韦达定理。

比

出

归

结

2、推论1：

纳

论

如果x2＋px＋q＝ 0的两个根分别是x1、x2

识的区别与联系。

学生思考初中所学根与那么x1＋x2=

，x1x2=

.

系数的关系和现在所学韦达定理的联系与区别

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熟运悉用公自熟悉公式： 学生----思考并展本环节的设计是为了引导学生及时巩固新知

1

2说一说

※

算一算：

示

1、说出下列各方程的两根之和与两根之

积：

（１）x2 - 2x - 1=0

教师

----展示学生x1＋x2=

，x1x2=

（2）

2x2 - 3x + 1/2

=0

的答案并点评易错的题.

x1＋x2=

，x1x2=

（3）2x2 - 6x =0

式

如

x1＋x2=

，x1x2=

（4）3x2

= 4

x1＋x2=

，x1x2=

2、已知x1

= 3, x2= -6是方程

3x2+px+q=0 的两个根，求出

p 和

q 的值。

例

题

讲

解

【典型例题】

韦达定理的应用

1、求代数式的值

设计这5道题是为了考察学生灵活运用知识解例1: 已知3x2+2x-9=0的两根是x1

, 学生经过独立思考决问题能力，让学生感1122x2。求：（1）＋；（2）x1＋x2

x1x2【变式训练】

--小组解疑、合理分工、精彩讲解、提出质疑等过程，自主完成题目。

老师----学生讲解后，老师进行关键性的点评和补充

受到

根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况

还进一步进行变式进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在

解题中的运用，可起到简便运算的作用

已知

m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（m≠n），求(m-1)(n-1). 2、求根或系数

例2、

已知方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0的一个根是2 ,求此方程的另一个根及a的值。

3、构造一元二次方程

例3 、请构造一元二次方程，使它的两根分别为以下各组数. ，３

（1）1 , 2

（2）２推论2：以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：

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x2

x+

=0 4、解方程

例4、已知两数之和为14，乘积-51，求这两数.

5．研究方程根的情况

例5：已知方程

x2-2(k-1)x+k2-2=0，k 为何值时，方程有一正根和负根？

.这一过程体现了学生的主体作用，举一反三，提高了学习兴趣. 另外学生的互评、教师的点评会让学生认识到解题的灵活性，培养学生的思维.

课

堂

小

结

本节课我们学习了：

1、韦达定理的具体形式：

学生自我总结本节课所学内容.

本设计的目的是帮助学生回忆本节所学的内容，加深对本节内容的理解，掌握韦达定理的应用。

x1＋x2=

，x1x2=

2、韦达定理的应用: （1）求代数式的值 （2）求方程的根或系数 （3）构造一元二次方程

（4）解方程

（5）研究方程根的情况

作业必做题：同步练习 1，3,4，5题；

作业的布置注意到分层，满足不同层次学生的需要. 设

计

选做题：同步练习 2，6，7题.

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板

书

设

计

简明扼要的板书让学生课题：韦达定理及其应用

一．知识回顾

二．韦达定理的概念

推论1：

推论2：

三．应用

（1）求代数式的值 （2）求方程的根或系数 （3）构造一元二次方程

（4）解方程

（5）研究方程根的情况

对所学知识一目了然，也有利于知识的记忆，

例题关键分析

例1： 例4：

例2： 例5：

例3：

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