习题2.3ppt课件课堂实录

平面向量

1．如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与OA、OB、OC相等的向量。

2.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出

图中与OD、DC共线的向量。

3.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与DA的模相等的向量以及方向相同的向量。

4.如图，在平行四边形ABCD中，ABa ，ADb

，

你能用a，b表示向量

AC，DB吗？

5.如图，在五边形ABCDE中，

D

C

A

B

B

A

C

O

F

D

E 图1 ABa ，BCb ，CDc ，EAd ，

试用a ，b ，

c ，

d表示向量CE和DE.

6.如图，在平行四边形ABCD中，若，OAa ，OBb

则下列各表述是正确的为（

）

A．OAOBAB

B．OCODAB

C．CDa + b

D．BC(a +

b)

D

E

C

A

B

平面向量

正确答案：选D 变式3：已知OA=a，OB=b, OC=c,OD=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（

）

A.

a+b+c+d=0

B.

a－b+c－d=0

D.

a－b－c+d=0

C.

a+b－c－d=0

正确答案：选A

1变式4：在四边形ABCD中，若ABCD，则此四边形是(

) 2A．平行四边形

B．菱形

C．梯形

D．矩形

正确答案：选C 变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的

）

A．充分但不必要条件

C．充要条件

正确答案：选C 变式6：在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（

）

A.平行四边形

B.矩形

B

（ D．既不充分也不必要条件

C.梯形

D.菱形

【解析】

∵AD=ABBCCD=－8a－2b=2BC，∴AD//BC. ∴四边形ABCD为梯形. 正确答案：选C 变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（

）

A.λ(AB+AD),λ∈(0,1)

B.λ(AB+BC),λ∈(0,

C.λ(AB－AD),λ∈(0,1)

2) 22D.λ(ABBC),λ∈(0,) 2【解析】

由向量的运算法则AC=AB+AD，而点P在对角线AC上，所以AP与AC同向，且|AP|＜|AC|,∴AP=λ(AB+AD),λ∈(0,1).

平面向量

正确答案：选

A 变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b，AB=c,则下列各式： ①EF=111c－b

②BE=a +b 22211③CF=－a +b ④AD+BE+CF=0

22C.3

D.4 其中正确的等式的个数为（ ）

A.1

B.2

正确答案：选B

3．（人教版第98页例6）

如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OAa + b，OBa + 2b，

b a OCa + 3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

变式1：已知OAa + 2b，OB2a + 4b，OC3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线．

证明：∵ABOBOAa + 2b，ACOCOA2a + 4b，

∴

AC2AB

所以，A、B、C三点共线．

变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且OAa + b，OB(m2)a + 2b，OC(n1)a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．

解：ABOBOA(m3)a + b

，ACOCOAna + 2b

由A、B、C三点在同一直线上可设ABkAC，

则

(m3)kn1

所以

(m3)n

即

2mn60为所求．

22k1

4．（人教版第102页第13题）

已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：EFHG

D 变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

C

E

F

A

B

平面向量

求证：ABDC2EF. 证明：如图，连接EB和EC ，

由EAABEB和EFFBEB可得，EAABEFFB

（1）

由EDDCEC和EFFCEC可得，EDDCEFFC

（2）

（1）+（2）得，

EAEDABDC2EFFBFC

（3）

∵E、F分别为AD和BC的中点，∴EAED0，FBFC0，

代入（3）式得，ABDC2EF

三、平面向量的基本定理及坐标表示

2.（人教版第109页例6）

已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b

，求

y ．

变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（

）

A．551212，-

B．，-

13131313C．551251212512，

或，-

D．，

或，-

1313131313131313正确答案：选C

变式2：已知a(1,2)，bx,1，当a+2b与2a－b共线时，x值为

（ ）

A．1

B．2

C．正确答案：选D 变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与AB2AC方向相反的单位向量是(

) A．(0,1)

B．(0,－1)

C．

(－1,1)

D．(1,－1)

正确答案：选A

变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时，

ka－b与a+3b平行, 平11

D．

32

平面向量

行时它们是同向还是反向？

解：因为

ka－b

k2，1，a+3b7，3．

由已知得，3k270 解得

k，

此时，ka－b

，1，a+3b7，3，二者方向相反．

2.（人教版第110页例8）

设点P是线段PP，y1，x2，y2．

12上的一点，P1、P2的坐标分别为x1(1) 当点P是线段PP12上的中点时，求点P的坐标；

(2) 当点P是线段PP12的一个三等分点时，求P的坐标

变式1：已知两点M3,2，N5,5，MP13731MN，则P点坐标是

（

）

2A．8,1

B．1,

C．1,

D．8,1

正确答案：选B 变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，

若OA＝a，OB＝b，则OP＝

21ab

，

33b a B Q P A 3232OQ＝

12ab

(用a、b表示) 33

O 四、平面向量的数量积

5．（人教版第116页例3）

已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为60，求

(a + 2b)·(a3b)

．

变式1：已知a3,b4,aba2b23,那么a与b夹角为

A、60

B、90

C、120

D、150

正确答案：选C 变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝

3，| b | ＝

4，则（2a

–

b）·a等于

（A）15

（B）12

（C）6

（D）3 正确答案：选B

平面向量

变式3：在△ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，S△ABC=3，则AB·AC等于（ ）

A.－2

B.2

C.±2

D.±4 正确答案：选C 变式4：设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解：∵(2te17e2)(e1te2)0，故2t15t70，

解之7t21

．

2另有2t,7t，解之t14,14，

2∴t(7,14141)(,)．

222

2.（人教版第116页例4）

已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + kb 与akb互相垂直？

变式1：已知a⊥b

，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与kab互相垂直，则k的值为（

）

A．333

B．

C．

D．1 222正确答案：选B 变式2：已知|a|＝1，|b| ＝2且（a－b）⊥a，则a与b夹角的大小为

45º

．

解：

2.（人教版第119页

第11题）

已知a = (4，2)，求与向量a

垂直的单位向量的坐标．

变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是

(

) A．3i+2j

正确答案：选C

变式2：已知向量a(1,1)，b(2,3)，若ka2b与a垂直，则实数k=（

）

A．1 B．－1 C．0 D．2

B．－2i+3j

C．－3i+2j

D．2i－3j

平面向量

正确答案：选B 变式3：若非零向量a,b互相垂直，则下列各式中一定成立的是

A．abab

C．(ab)(ab)0

（

）

B．|ab||ab|

D．(ab)20

正确答案：选B 变式4：已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x），

c＝（2，y）且a∥b，ac．求|b－c|的值．

解：∵

a∥b，∴

3x＋8＝0．

∴x＝88．

∴

b＝（2，

）

．

3333∵

ac，

∴

6－4y＝0．

∴

y＝．

∴

c＝（2，

）．

223825而b－c

＝（2，）－（2，）＝（0，－），

62325∴

|b－c|＝．

6

（人教版第118页例5）

已知A (1，2)，B (2，3)，C (2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明．

O是ABC所在的平面内的一点，变式1：且满足OBOCOCOA0，则ABC

一定为（

）

A．正三角形

B．等腰直角三角形

C．直角三角形

D．斜三角形

正确答案：选C 变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，

则O是△ABC的（

）

A．

重心

正确答案：选A

B．

垂心

2

C．

内心

D．

外心

变式3：已知ABBCAB0，则△ABC一定是

（

）

A．锐角三角形

正确答案：选B B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形

变式4：四边形ABCD中，AB(6,1),BC(x,y),CD(2,3)

平面向量

（1）若BC//DA，试求x与y满足的关系式；

（2）满足（1）的同时又有ACBD，求x,y的值及四边形ABCD的面积。 解：BC(x,y) DAAD(ABBCCD)(x4,y2)(x4,y2)

（1）BC//DA 则有x(y2)y(x4)0

化简得：x2y0 （2）ACABBC(x6,y1)

BDBCCD(x2,y3)

又ACBD 则

(x6)(x2)(y1)(y3)0

化简有：x2y24x2y150 x2y0联立2

2xy4x2y150解得x6x2 或 y3y1BC//DA

ACBD

则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形

当x6 AC(0,4)BD(8,0) y31ACBD16

2

此时SABCDx2当 AC(8,0)BD(0,4) y1此时SABCD

1ACBD16 2

平面向量

五、平面向量应用举例

（人教版第121页

例1）

题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍

变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，

求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

证明：PA2OA2OP22OAOP

，

PB2OB2OP22OB2OP，

PC2OC2OP22OC2OP

，

PD2OD2OP22OD2OP，

以上各式相加可证．

变式2：已知△ABC中，BCa,CAb,ABc，若abbcca，求证：△ABC为正三角形.

证明：bcca，

∴c(ba)0，

又∵abc0，

c(ab)，

故(ab)(ba)0

，

知a=b，

同理可知b=c ，

故a=b=c ，

得证．

变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证OAOBOCOD4OE. 【证明】

∵E是对角线AC与BD的交点，∴AEECCE,BEEDDE. 在△OAC中，OAAEOE，

同理有OBBEOE,OCCEOE,ODDEOE.

平面向量

四式相加可得：OAOBOCOD4OE.

变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

求证：EF1(ABDC)

2【证法一】

∵E、F分别为DA、BC的中点. ∴DEEA,FCBF

又∵EFFCCDDE=0①

EFFBBAAE=0②

①+②，得2EF(FCFB)(CDBA)(DEAE)=0

∴2EFCD(BA)DCAB

∴EF1(ABDC)

2【证法二】

连结EC，EB

∵EFFCEC，①

EFFBEB②

①+②,得2EF+0=ECEB，

∴EF1(ECEB)

2又∵ECEDDC③

平面向量

EBEAAB④

③+④,得EF1(EDDCEAAB)

2又∵EDEA=0，

∴EF

1(ABDC). 2