小结优秀教案案例

人教A版2003课标版必修1 第二章

基本初等函数（Ⅰ）小结教学设计

综述

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，面对客观世界纷繁复杂的变化现象，我们还可以根据变化现象的不同特征进行分类研究。而指数函数、对数函数和幂函数正是研究客观世界变化规律的三类重要且常用的基本初等函数，本章我们学习了这三类函数的概念和基本性质。

本节小结课主要在基本知识、基本初等函数已初步学完的前提下综合复习所学知识，进行知识间整合的过程，同时也是综合提高的过程。本课进行了整体设计，通过对函数知识的运用，培养学生的理性思维能力；通过探究、思考，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过揭示对象之间的内在联系，培养学生的辩证思维能力；通过复合函数、抽象函数的复习培养学生综合、抽象理解能力。

三维目标

一、知识与技能

引领学生掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质，对复合函数、抽象函数有一个新的认识。

二、过程与方法

让学生经历归纳、总结、提高的数学小结过程，养成勤于总结，善于梳理所学知识的良好的学习习惯。

三、情感态度与价值观

培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力。

教学重点

指数函数、对数函数的性质的运用。

教学难点

分类讨论的标准、抽象函数的理解。

教具准备

多媒体课件、希沃智慧黑板、打印好的作业。

教学过程

一、知识回顾（多媒体投影）

（一）本章知识结构

（二）指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次n方根用符号a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

③根式的性质：(na (a0)．

a)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，

nan|a|a (a0) mn（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：anam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

mn②正数的负分数指数幂的意义是：a

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0aa的负分数指数幂没有意义．

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①arasars(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

指数函数

函数（三）指数函数及其性质

函数名称

定义

yax(a0且a1)叫做指数函数

0a1

yaxa1

yx

yay图象

y1

(0,1)y1

(0,1)O

定义域

值域

OxxR

(0,)

图象过定点(0,1)，即当x过定点

奇偶性

单调性

0时，y1．

在R上是减函数

非奇非偶

在R上是增函数

ax1(x0)函数值的

变化情况

ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)a变化对图象的影响

（1）对数的定义

①若ax在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

（四）对数与对数运算

N(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）几个重要的对数恒等式：loga10，loga（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质 如果a①加法：logaa1，logaabb．

N；自然对数：lnN，即loge．

N（其中e2.71828…）0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR) ④alogaNN

MN

③数乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR) ⑥换底公式：logaN(b0,且b1)

blogba（五）对数函数及其性质

对数函数

函数

名称

定义

函数对数函数

ylogax(a0且a1)叫做对数函数

0a1

1x

a1

y图象

x

1ylogaxyylogax(1,0)

O(1,0)xOx

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

在(0,)上是增函数

(0,)

R

图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．

非奇非偶

在(0,)上是减函数

logax0(x1)函数值的

变化情况

logax0(x1)

logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)

a变化对

图象的影响

（六）幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．

yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图y轴．

象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中p,q互

质，p和qZ），若偶函数，若p为奇数q为奇数时，则yxqpqp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxqp是p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数其图象在直线线当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，yx,x(0,)，yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直yx下方．

二、方法总结

（1）函数的定义域的求法：布列各个式子成立的不等关系式组求交集即可求得函数的定义域。

常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. （2）函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤函数的单调性法. （3）单调性的判定法：①设x1、x2是所研究区间内的任两个自变量，且x1＜x2；②判定f（x1）与f（x2）的大小；③作差比较或作商比较. （注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）

（4）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象. （5）常用函数的研究、总结与推广：

①研究函数y=1－（ax±ax）（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、反函数；

2②研究函数y=loga（1x2±x）（a＞0，且a≠1）的定义域、单调性、反函数. （6）抽象函数〔即不给出f（x）的解析式，只知道f（x）具备的条件〕的研究. ①若f（a+x）=f（a－x），则f（x）关于直线x=a对称. ②若对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）可与指数函数类比. ③若对任意的x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y），则f（x）可与对数函数类比. 三、讲解新课、典型讲解

2111115【例1】

（1）化简a·b·(－3a·b)÷a·b的结果为(

) 3223366A．6a B．－a C．－9a D．9a

11115212111115解析：

a·b·－3a·b÷a·b＝－3a＋·b＋÷a·b

23366323223366211115＝－9a＋－·b＋－＝－9a. 答案：

C 326236(2)(lg 5)2+lg 2·lg 50+211log252. log252解析：原式=(lg 5)2+lg 2·lg(2×52)+2·=(lg 5)2+lg 2·(lg 2+2lg 5)+25

=(lg 5+lg 2)2+25=1+25. 方法引导：

(1)指数式的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算. (2)对数式的运算:①注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 【例2】

已知函数f（x）=mx1xm1（1）求函数f（x）的定义域和值域；

（m＞0，且m≠1）. （2）判断f（x）的奇偶性；

（3）讨论函数f（x）的单调性. 解：（1）∵mx＞0，mx+1≠0恒成立，∴函数的定义域为R. ∵y=mx1mx1，∴mx=y1＞0.∴－1＜y＜1. 1y∴函数f（x）的值域为（－1，1）. （2）∵函数的定义域为R，关于原点对称，

mx11mx又∵f（－x）=x==－f（x），∴函数f（x）是奇函数. m11mx（3）任取x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=mx11mx11－mx21mx21=2(mx1mx2)(mx11)(mx21). ∵mx1+1＞0，mx2+1＞0，

∴当m＞1时，mx1－mx2＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

当0＜m＜1时，mx1－mx2＞0，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）. 综上，当m＞1时，函数f（x）为增函数；当0＜m＜1时，函数f（x）为减函数. 方法引导：求值域用了反表示法，函数表达式中有指数式mx，它具有大于0的范围，注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论. 1【例3】

己知已知函数f(x)=2x-2. (1)若f(x)=2,求x的值; (2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 1x解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-2. 1x由条件可知2x-2=2,即22x-2·2x-1=0,解得2x=1±2. x因为2x>0,所以2x=1+2,x=log2(1+2). 112tt(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-2)+m(2t-2)≥0, 即m(22t-1)≥-(24t-1).因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1). 因为t∈[1,2],所以-(1+22t)∈[-17,-5].故m的取值范围是[-5,+∞). 变式训练：已知2lg(x-2y)=lg x+lg y,则y的值为(

) x

(A)1

1(B)4

(C)1或4 (D)4或4 错解:因为2lg(x-2y)=lg x+lg y=lg(xy), 所以(x-2y)2=xy,即x2-5xy+4y2=0,(y)2-5(y)+4=0, 所以y=1或y=4,故选C. 纠错:错解中忽视了对数真数应大于0的条件. 正解:同错解得y=1或y=4.又x-2y>0且x>0,y>0, 所以y>2,所以y=4,故选B 方法引导：这是一道易错题，函数求值域要考虑定义域（t的取值范围）是本题防错的关键。其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯. 【例4】

求函数y=loga（x－x2）（a＞0，a≠1）的定义域、值域、单调区间. 解：（1）定义域：由x－x2＞0，得0＜x＜1，∴定义域为（0，1）. xxxxxxxx1211）+≤，

24411∴当0＜a＜1时，loga（x－x2）≥loga，函数的值域为［loga，+∞）；

4411当a＞1时，loga（x－x2）≤loga，函数的值域为（－∞，loga］. 4411（3）令u=x－x2，在区间（0，1）内，u=x－x2在（0，］上递增，在［，1）上递22（2）∵0＜x－x2=－（x－减. 11］上是减函数，在［，1）上是增函数；

2211当a＞1时，函数在（0，］上是增函数，在［，1）上是减函数. 22∴当0＜a＜1时，函数在（0，方法引导：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题讨论的分界线是对数的底. 【例5】

设x≥0，y≥0，且x+2y=1，求函数y=log1（8xy+4y2+1）的值域. 2解：∵x+2y=1，∴x=1－2y≥0.又y≥0，∴0≤y≤∴8xy+4y2+1=8（1－2y）y+4y2+1=－12y2+8y+1. ∵0≤y≤∴log121. 21177，∴1≤－12y2+8y+1=－12（y－）2+≤. 332377≤log1（8xy+4y2+1）≤log11=0.∴函数的值域为［log1，0］. 33222方法引导：本题的易错点是代换时没有注意到通过x求出y的范围.所以我们在代换时要注意等价代换，即考虑到字母的取值范围.

【例6】已知x满足a2xaa6x2ax4(

a0, a1

), 函数y＝loga1log1(ax)

2axa218解：由a2xa6ax2ax4(

a0, a1

)(axa2)(axa4)0

x[2, 4]

1131由y＝loga2log1(ax)y(logax)2

228axa211131y[, 0](logax)202logax1, 88228

2x4,

①

当a1时, 为logax单调增函数,loga2logaxloga4loga22且loga41,无的值域为[, 0], 求a的值.

解。

②

当0a1时, 为logax单调减函数, loga2logaxloga4

，loga22且loga41a1

2方法引导：本题考查了换元转化思想和分类讨论思想，理解对数函数概念，特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键。

【例7】

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=－f（x），f（x）=－f（－x），当x∈［0，1）时，f（x）=2x－1.求f（log124）. 2解：设x0=log124，则x0∈（－5，－4）.∴－（x0+4）∈（0，1）.∴f（－x0－4）=2x04－1. 2∵f（x）=－f（x+2），∴f（－x0－4）=－f（－x0－2）=f（－x0）. ∵f（x）=－f（－x），∴f（x0）=－f（－x0）=－f（－x0－4）=－2x04+1. log23324∵x0=log124，∴－（x0+4）=log224－4=log2=log2.∴2(x04)=22=. 162223∴f（x0）=－2x04+1=－3+1=－0.5. 2方法引导：这是解决此类问题的通法：第一步，设x为求证区间中的变量，第二步，将求证的区间转化为已知的区间，第三步，代入已知区间中的函数解析式，第四步，根据已知条件再转化为f（x）. 【例8】

y=(2x)(3x)的定义域为A，函数y=lg（k－2x－x2）的定义域为B，若AB，求实数k的取值范围. 解法一：由（2+x）（3－x）≥0，得－2≤x≤3，∴A={x|－2≤x≤3}.而B={x|k－2x－x2＞0}，

2f(2)0k2(2)(2)0令f（x）=k－2x－x，由AB得k＞15. 2f(3)0k23302解法二：∵A={x|－2≤x≤3}，B={x|k－2x－x2＞0}={x|－1－1k＜x＜－1+1k}.

由AB知－1－1k＜－2＜3＜－1+1k，得k＞15. 方法引导：对集合语言的理解是解决本题的关键. 【例9】设函数f(x)x21，对任意x,，f恒成立，则实数m的取值范围是 . 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

23x24mf(x)f(x1)4f(m)mx232222依据题意得214m(x1)(x1)14(m1)在x[,)上恒定成立，即m213232在4m1x[,)上恒成立。

22mxx23325当x时函数y21取得最小值，

2xx3所以3315222，即，解得或(3m1)(4m3)0mm4m22

m23变式训练：

已知函数（1）求实数的值；

（2）若，求函数的值域.

，其中且，又.

解：（1）由，得：，解得：，又∵且，∴.

（2）由（1）知：，设，，∴，

则，易知，在内单调递增，

故，，故：的值域为．

方法引导：本题主要考查函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键。本题充分说明了二次函数图象和性质的工具性作用，对于不等式

恒成立问题，分离参数并构造函数求出其最值来确定参数取值范围不失为一个简单有效的方法.

四、课堂练习

（两节课的练习）

课本P95复习参考题A组1、3、5、7、9、11、13、14、15. 五、课堂小结

1.我们从正整数指数幂出发，经过推广得到了有理数指数幂，又由“有理数逼近无理数”的思想，认识了实数指数幂.这个过程体现了数学概念推广的基本思想.有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数幂的运算性质，我们推出了对数运算性质. 2.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.本章学习的三种不同类型的函数模型，刻画了客观世界中三类具有不同变化规律，因而具有不同对应关系的变化现象.指数函数、对数函数和幂函数是描述客观世界中许多事物发展变化的三类重要的函数模型，这三类函数的图象和性质是我们解决相关问题的重要工具. 3.研究函数时，函数图象的作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助. 六、布置作业

课本P95复习参考题A组题2、4、6、8、10、12；B组题1～8. 板书设计

第二章

基本初等函数（Ⅰ）小结

知识结构及知识点梳理、方法归类要点

例题及分析过程

课堂小结与布置作业